Вопросы, страница 122 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Сформулируйте теорему о полной вероятности и докажите ее.

Напишите формулу Байеса и докажите ее. Как вы думаете, почему эту формулу называют теоремой гипотез?

1. Сформулируйте теорему о полной вероятности и докажите ее.

Формулировка теоремы:
Пусть имеется полная группа попарно несовместных событий (гипотез) $H_1, H_2, \dots, H_n$. Это означает, что:

1. Объединение всех гипотез составляет всё пространство элементарных событий: $\cup_{i=1}^{n} H_i = \Omega$.

2. Гипотезы попарно несовместны: $H_i \cap H_j = \emptyset$ при $i \neq j$.

Следовательно, сумма их вероятностей равна единице: $\sum_{i=1}^{n} P(H_i) = 1$.

Пусть $A$ — некоторое событие, которое может наступить только вместе с одной из гипотез $H_i$. Тогда вероятность события $A$ (полная вероятность) может быть найдена по формуле:

$P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(H_i) P(A|H_i)$

где $P(H_i)$ — вероятность $i$-й гипотезы, а $P(A|H_i)$ — условная вероятность события $A$ при условии, что гипотеза $H_i$ верна.

Доказательство:
Поскольку событие $A$ может произойти только совместно с одной из гипотез $H_1, H_2, \dots, H_n$, мы можем представить событие $A$ как объединение его пересечений с каждой из гипотез. Так как гипотезы образуют полное пространство событий $\Omega$, то $A = A \cap \Omega$.

$A = A \cap (\cup_{i=1}^{n} H_i) = \cup_{i=1}^{n} (A \cap H_i)$

Наглядно это можно представить так:

События $(A \cap H_i)$ являются попарно несовместными, так как сами гипотезы $H_i$ попарно несовместны:

$(A \cap H_i) \cap (A \cap H_j) = A \cap (H_i \cap H_j) = A \cap \emptyset = \emptyset$ для $i \neq j$.

Согласно теореме сложения вероятностей для несовместных событий, вероятность объединения равна сумме вероятностей:

$P(A) = P(\cup_{i=1}^{n} (A \cap H_i)) = \sum_{i=1}^{n} P(A \cap H_i)$

По определению условной вероятности, вероятность совместного наступления двух событий $A$ и $H_i$ равна $P(A \cap H_i) = P(H_i) \cdot P(A|H_i)$.

Подставив это выражение в сумму, получаем искомую формулу полной вероятности:

$P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(H_i) P(A|H_i)$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Вероятность события $A$, которое может наступить лишь при условии появления одной из гипотез $H_1, H_2, \dots, H_n$, образующих полную группу попарно несовместных событий, вычисляется по формуле полной вероятности $P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(H_i) P(A|H_i)$.

2. Напишите формулу Байеса и докажите ее. Как вы думаете, почему эту формулу называют теоремой гипотез?

Формула Байеса:
Пусть $H_1, H_2, \dots, H_n$ — полная группа попарно несовместных гипотез, и $A$ — событие, которое уже произошло. Формула Байеса позволяет переоценить вероятности гипотез после того, как стало известно, что событие $A$ произошло. Она вычисляет условную (апостериорную) вероятность гипотезы $H_k$ при условии наступления события $A$:

$P(H_k|A) = \frac{P(H_k) P(A|H_k)}{P(A)}$

Используя формулу полной вероятности для знаменателя, получаем развернутый вид формулы Байеса:

$P(H_k|A) = \frac{P(H_k) P(A|H_k)}{\sum_{i=1}^{n} P(H_i) P(A|H_i)}$

Доказательство:
Запишем формулу условной вероятности для $P(H_k|A)$ и $P(A|H_k)$:

1. $P(H_k|A) = \frac{P(H_k \cap A)}{P(A)}$

2. $P(A|H_k) = \frac{P(A \cap H_k)}{P(H_k)}$

Поскольку $P(H_k \cap A) = P(A \cap H_k)$, мы можем выразить эту совместную вероятность из второго уравнения:

$P(A \cap H_k) = P(H_k) \cdot P(A|H_k)$

Теперь подставим это выражение в числитель первого уравнения:

$P(H_k|A) = \frac{P(H_k) P(A|H_k)}{P(A)}$

Это и есть формула Байеса. Если в знаменатель подставить выражение для $P(A)$ из теоремы о полной вероятности (доказанной в предыдущем пункте), мы получим ее развернутую форму. Что и требовалось доказать.

Почему эту формулу называют теоремой гипотез?
Эту формулу называют теоремой гипотез, потому что она позволяет производить "переоценку гипотез" на основе полученных данных. В контексте этой теоремы:

• События $H_1, H_2, \dots, H_n$ рассматриваются как возможные, конкурирующие между собой гипотезы или причины, которые могли привести к наблюдаемому результату.
• Вероятности $P(H_i)$ — это априорные (доопытные) вероятности гипотез, то есть наши предположения об их истинности до проведения эксперимента.
• После того как эксперимент проведен и событие $A$ наблюдалось, формула Байеса позволяет вычислить апостериорные (послеопытные) вероятности $P(H_k|A)$. Эти новые вероятности отражают, как изменилась наша уверенность в истинности каждой гипотезы $H_k$ в свете нового свидетельства (события $A$).

Таким образом, формула является ключевым инструментом для обновления убеждений и проверки гипотез на основе эмпирических данных, что и обусловило ее название.

Ответ: Формула Байеса имеет вид $P(H_k|A) = \frac{P(H_k) P(A|H_k)}{\sum_{i=1}^{n} P(H_i) P(A|H_i)}$. Ее называют теоремой гипотез, так как она позволяет количественно переоценить (обновить) вероятности гипотез ($P(H_k)$) после получения новой информации в виде свершившегося события $A$, вычислив апостериорные вероятности $P(H_k|A)$.