Номер 4.84, страница 120 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.84. Напишите формулу общего члена последовательности:

1) 1; 4; 7; 10; ...;

2) 0; 1; $\frac{\sqrt{2}}{2}$; $\sin \frac{\pi}{8}$; ...

1) Обозначим члены последовательности $a_n$, где $n$ - номер члена последовательности, начиная с 1. Дано: $a_1=1$, $a_2=4$, $a_3=7$, $a_4=10$.
Найдем разность между соседними членами последовательности:
$a_2 - a_1 = 4 - 1 = 3$
$a_3 - a_2 = 7 - 4 = 3$
$a_4 - a_3 = 10 - 7 = 3$
Поскольку разность между любыми двумя последовательными членами постоянна и равна 3, данная последовательность является арифметической прогрессией.
Первый член прогрессии $a_1 = 1$, а разность прогрессии $d = 3$.
Формула общего члена арифметической прогрессии имеет вид: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Подставив в формулу значения $a_1=1$ и $d=3$, получим:
$a_n = 1 + (n-1) \cdot 3 = 1 + 3n - 3 = 3n - 2$.
Проверим полученную формулу для первых нескольких членов:
Для $n=1$: $a_1 = 3 \cdot 1 - 2 = 1$.
Для $n=2$: $a_2 = 3 \cdot 2 - 2 = 4$.
Для $n=3$: $a_3 = 3 \cdot 3 - 2 = 7$.
Формула верна.
Ответ: $a_n = 3n - 2$.

2) Обозначим члены последовательности $a_n$. Дано: $a_1=0$, $a_2=1$, $a_3=\frac{\sqrt{2}}{2}$, $a_4=\sin\frac{\pi}{8}$.
Заметим, что значения членов последовательности соответствуют значениям функции синуса для определенных углов:
$a_1 = 0 = \sin(\pi)$
$a_2 = 1 = \sin(\frac{\pi}{2})$
$a_3 = \frac{\sqrt{2}}{2} = \sin(\frac{\pi}{4})$
$a_4 = \sin(\frac{\pi}{8})$
Рассмотрим последовательность аргументов функции синуса: $\pi, \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{8}, \dots$.
Эта последовательность является геометрической прогрессией. Найдем ее параметры. Первый член $x_1 = \pi$. Знаменатель прогрессии $q$ можно найти, разделив второй член на первый: $q = \frac{\pi/2}{\pi} = \frac{1}{2}$.
Формула $n$-го члена геометрической прогрессии: $x_n = x_1 \cdot q^{n-1}$.
Подставив найденные значения, получим формулу для аргумента синуса:
$x_n = \pi \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} = \frac{\pi}{2^{n-1}}$.
Следовательно, формула общего члена исходной последовательности:
$a_n = \sin(x_n) = \sin\left(\frac{\pi}{2^{n-1}}\right)$.
Проверим эту формулу:
Для $n=1$: $a_1 = \sin\left(\frac{\pi}{2^{1-1}}\right) = \sin(\pi) = 0$.
Для $n=2$: $a_2 = \sin\left(\frac{\pi}{2^{2-1}}\right) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.
Для $n=3$: $a_3 = \sin\left(\frac{\pi}{2^{3-1}}\right) = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Формула верна.
Ответ: $a_n = \sin\left(\frac{\pi}{2^{n-1}}\right)$.