Номер 4.79, страница 120 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.79. Двое играют, по очереди подбрасывая монету. По условию игры выигрывает тот, чья монета первой выпадет гербовой стороной. Определите вероятность выигрыша каждого игрока.

Обозначим игроков как Игрок 1 (тот, кто ходит первым) и Игрок 2. Пусть событие "выпал герб" обозначается как Г, а "выпала решка" — как Р. Предполагается, что монета идеальная, поэтому вероятности этих событий равны:

$P(Г) = p = \frac{1}{2}$

$P(Р) = q = 1 - p = \frac{1}{2}$

Игра заканчивается, как только у одного из игроков выпадает герб.

Вероятность выигрыша первого игрока

Первый игрок выигрывает, если герб выпадает на его броске. Это может произойти на его первом, втором, третьем и так далее броске. Рассмотрим эти случаи:

1. Игрок 1 выигрывает на 1-м ходу (первый бросок в игре). Для этого он должен сразу выбросить герб (Г). Вероятность этого события: $P_1(1) = P(Г) = \frac{1}{2}$.

2. Игрок 1 выигрывает на 3-м ходу (его второй бросок). Для этого первый игрок должен выбросить решку (Р), второй игрок тоже должен выбросить решку (Р), и только после этого первый игрок выбрасывает герб (Г). Последовательность исходов: РРГ. Вероятность: $P_1(3) = P(Р) \cdot P(Р) \cdot P(Г) = q \cdot q \cdot p = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$.

3. Игрок 1 выигрывает на 5-м ходу (его третий бросок). Для этого первые четыре броска должны быть решками, а пятый — гербом. Последовательность: РРРРГ. Вероятность: $P_1(5) = q^4 \cdot p = (\frac{1}{2})^5 = \frac{1}{32}$.

И так далее. Вероятность выигрыша первого игрока на его k-м броске (что соответствует $2k-1$ броску в игре) равна $(\frac{1}{2})^{2k-1}$.

Полная вероятность выигрыша первого игрока, $P_1$, является суммой вероятностей всех этих несовместных событий:

$P_1 = \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^3 + (\frac{1}{2})^5 + \dots$

Эта сумма представляет собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, у которой первый член $a_1 = \frac{1}{2}$ и знаменатель $r = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$.

Сумма такой прогрессии вычисляется по формуле $S = \frac{a_1}{1 - r}$.

$P_1 = \frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{4}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} = \frac{2}{3}$.

Ответ: Вероятность выигрыша первого игрока равна $\frac{2}{3}$.

Вероятность выигрыша второго игрока

Второй игрок выигрывает, если герб выпадает на его броске. Рассмотрим его выигрышные сценарии:

1. Игрок 2 выигрывает на 2-м ходу (его первый бросок). Для этого Игрок 1 должен выбросить решку (Р), а Игрок 2 — герб (Г). Последовательность: РГ. Вероятность: $P_2(2) = P(Р) \cdot P(Г) = q \cdot p = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$.

2. Игрок 2 выигрывает на 4-м ходу (его второй бросок). Для этого первые три броска должны быть решками, а четвертый — гербом. Последовательность: РРРГ. Вероятность: $P_2(4) = q^3 \cdot p = (\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{16}$.

3. Игрок 2 выигрывает на 6-м ходу (его третий бросок). Последовательность: РРРРРГ. Вероятность: $P_2(6) = q^5 \cdot p = (\frac{1}{2})^6 = \frac{1}{64}$.

И так далее. Вероятность выигрыша второго игрока на его k-м броске (что соответствует $2k$ броску в игре) равна $(\frac{1}{2})^{2k}$.

Полная вероятность выигрыша второго игрока, $P_2$, является суммой вероятностей:

$P_2 = (\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^4 + (\frac{1}{2})^6 + \dots$

Это также бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, у которой первый член $b_1 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$ и знаменатель $r = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$.

$P_2 = \frac{\frac{1}{4}}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{4}} = \frac{1}{3}$.

Для проверки можно заметить, что кто-то из игроков обязательно выиграет (вероятность бесконечной игры равна нулю), поэтому сумма их вероятностей выигрыша должна быть равна 1:

$P_1 + P_2 = \frac{2}{3} + \frac{1}{3} = 1$.

Ответ: Вероятность выигрыша второго игрока равна $\frac{1}{3}$.

Альтернативный метод решения

Пусть $P$ — вероятность выигрыша для игрока, чья очередь бросать монету. Он может выиграть на этом же ходу, выбросив герб (вероятность $p=\frac{1}{2}$). Либо он может выбросить решку (вероятность $q=\frac{1}{2}$), и тогда право хода переходит к сопернику. В этом случае соперник оказывается в позиции "того, кто бросает следующим", и его вероятность выиграть теперь равна $P$. Следовательно, вероятность проигрыша первого игрока (и выигрыша второго) равна $P$, а вероятность выигрыша первого игрока (после того как он выбросил решку) равна $1-P$.

Таким образом, можно составить рекуррентное соотношение для $P$:

$P = (\text{вероятность выиграть сразу}) + (\text{вероятность передать ход}) \cdot (\text{вероятность выиграть позже})$

$P = p \cdot 1 + q \cdot (1 - P)$

Подставим значения $p = \frac{1}{2}$ и $q = \frac{1}{2}$:

$P = \frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot (1 - P)$

$P = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2}P$

$P + \frac{1}{2}P = 1$

$\frac{3}{2}P = 1$

$P = \frac{2}{3}$

Это вероятность выигрыша для того игрока, кто бросает первым. То есть, $P_1 = P = \frac{2}{3}$.

Соответственно, вероятность выигрыша второго игрока $P_2$ — это вероятность того, что первый не выиграет:

$P_2 = 1 - P_1 = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.

Результаты, полученные обоими методами, совпадают.