Номер 4.81, страница 120 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.81*. Из чисел $ \{1, 2, \dots, n\} $ случайно выбрали число $ m $. Какова вероятность того, что при делении $ m $ на заданное натуральное число $ q $ в остатке останется число $ r $? Найдите эту вероятность при $ n \to \infty $.

Пусть $A$ — событие, состоящее в том, что случайно выбранное из множества $\{1, 2, ..., n\}$ число $m$ при делении на заданное натуральное число $q$ дает в остатке число $r$. Вероятность этого события вычисляется по классической формуле $P(A) = \frac{N_{благопр}}{N_{общ}}$, где $N_{общ}$ — общее число элементарных исходов, а $N_{благопр}$ — число исходов, благоприятствующих событию $A$.

Какова вероятность того, что при делении $m$ на заданное натуральное число $q$ в остатке останется число $r$

Общее число элементарных исходов равно количеству чисел в множестве $\{1, 2, ..., n\}$, то есть $N_{общ} = n$.

Число $r$ является остатком от деления на $q$, поэтому оно должно удовлетворять условию $0 \le r < q$.

Нам необходимо найти количество чисел $m$ (благоприятствующих исходов, $N_{благопр}$) в множестве $\{1, 2, ..., n\}$ таких, что $m$ при делении на $q$ дает в остатке $r$. Такие числа имеют вид $m = k \cdot q + r$, где $k$ — целое неотрицательное число.

Чтобы найти $N_{благопр}$, представим число $n$ через его неполное частное и остаток от деления на $q$: $n = a \cdot q + b$, где $a = \lfloor \frac{n}{q} \rfloor$ и $b = n \pmod q$, причем $0 \le b < q$.

Рассмотрим числа от $1$ до $n$. В каждом полном блоке из $q$ последовательных чисел (например, $1, ..., q$ или $q+1, ..., 2q$) встречается ровно по одному числу, дающему каждый из возможных остатков $0, 1, ..., q-1$. В диапазоне от $1$ до $a \cdot q$ содержится ровно $a$ таких полных блоков. Следовательно, в этом диапазоне для каждого остатка $r$ существует ровно $a$ чисел.

Оставшиеся числа — это $a \cdot q + 1, a \cdot q + 2, ..., a \cdot q + b$. Их остатки от деления на $q$ равны соответственно $1, 2, ..., b$.

Таким образом, общее количество чисел с искомым остатком $r$ зависит от того, попадает ли $r$ в диапазон от $1$ до $b$:

• Если $1 \le r \le b$, то к $a$ числам из диапазона $[1, a \cdot q]$ добавляется еще одно число ($a \cdot q + r$) из оставшихся. В этом случае $N_{благопр} = a + 1 = \lfloor \frac{n}{q} \rfloor + 1$.

• Если $r > b$ (то есть $b < r < q$) или если $r = 0$, то среди оставшихся чисел нет таких, которые давали бы остаток $r$. В этом случае $N_{благопр} = a = \lfloor \frac{n}{q} \rfloor$.

Следовательно, искомая вероятность $P_n(r) = \frac{N_{благопр}}{n}$ равна:

• $\frac{\lfloor n/q \rfloor + 1}{n}$, если $1 \le r \le n \pmod q$.

• $\frac{\lfloor n/q \rfloor}{n}$, если $r=0$ или $n \pmod q < r < q$.

Ответ: Вероятность зависит от остатка от деления $n$ на $q$. Пусть $b = n \pmod q$. Если $1 \le r \le b$, то вероятность равна $\frac{\lfloor n/q \rfloor + 1}{n}$. Если $r=0$ или $b < r < q$, то вероятность равна $\frac{\lfloor n/q \rfloor}{n}$.

Найдите эту вероятность при $n \to \infty$

Найдем предел $\lim_{n \to \infty} P_n(r)$. Для этого воспользуемся определением функции "пол" (целая часть), из которого следует неравенство $x - 1 < \lfloor x \rfloor \le x$. Применительно к нашему случаю ($x = n/q$): $\frac{n}{q} - 1 < \lfloor \frac{n}{q} \rfloor \le \frac{n}{q}$.

Рассмотрим оба случая для $P_n(r)$.

1. Если $P_n(r) = \frac{\lfloor n/q \rfloor + 1}{n}$. Используя неравенство для $\lfloor n/q \rfloor$, получаем: $\frac{(\frac{n}{q} - 1) + 1}{n} < P_n(r) \le \frac{\frac{n}{q} + 1}{n}$, что упрощается до $\frac{1}{q} < P_n(r) \le \frac{1}{q} + \frac{1}{n}$. Поскольку $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{q} = \frac{1}{q}$ и $\lim_{n \to \infty} (\frac{1}{q} + \frac{1}{n}) = \frac{1}{q}$, по теореме о зажатой последовательности (о двух милиционерах) $\lim_{n \to \infty} P_n(r) = \frac{1}{q}$.

2. Если $P_n(r) = \frac{\lfloor n/q \rfloor}{n}$. Аналогично, используя неравенство, получаем: $\frac{\frac{n}{q} - 1}{n} < P_n(r) \le \frac{\frac{n}{q}}{n}$, что упрощается до $\frac{1}{q} - \frac{1}{n} < P_n(r) \le \frac{1}{q}$. Поскольку $\lim_{n \to \infty} (\frac{1}{q} - \frac{1}{n}) = \frac{1}{q}$ и $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{q} = \frac{1}{q}$, по той же теореме $\lim_{n \to \infty} P_n(r) = \frac{1}{q}$.

Таким образом, в обоих случаях предел вероятности при $n \to \infty$ одинаков.

Ответ: $\frac{1}{q}$.