Номер 4.78, страница 120 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.78. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,6. Выстрел производится до тех пор, пока мишень не будет поражена. Какова вероятность того, что количество выстрелов по мишени не превысит трех?

Пусть $p$ — это вероятность поражения мишени при одном выстреле. По условию задачи, $p = 0,6$.

Тогда вероятность промаха при одном выстреле, которую мы обозначим как $q$, является событием, противоположным попаданию, и ее вероятность равна:

$q = 1 - p = 1 - 0,6 = 0,4$.

Событие «количество выстрелов по мишени не превысит трех» означает, что мишень будет поражена либо с первого, либо со второго, либо с третьего выстрела. Эти три исхода являются несовместными, поэтому искомую вероятность можно найти как сумму их вероятностей.

Рассмотрим каждый возможный случай:

1. Мишень поражена с первого выстрела. Вероятность этого события $P_1$ равна $p$.

$P_1 = p = 0,6$.

2. Мишень поражена со второго выстрела. Это означает, что первый выстрел был промахом (вероятность $q$), а второй — попаданием (вероятность $p$). Так как выстрелы являются независимыми событиями, вероятность этого исхода $P_2$ равна произведению их вероятностей:

$P_2 = q \cdot p = 0,4 \cdot 0,6 = 0,24$.

3. Мишень поражена с третьего выстрела. Это означает, что первые два выстрела были промахами (вероятность $q$ для каждого), а третий — попаданием (вероятность $p$). Вероятность этого исхода $P_3$ равна:

$P_3 = q \cdot q \cdot p = q^2 \cdot p = (0,4)^2 \cdot 0,6 = 0,16 \cdot 0,6 = 0,096$.

Искомая вероятность $P$ равна сумме вероятностей этих трех несовместных событий:

$P = P_1 + P_2 + P_3 = 0,6 + 0,24 + 0,096 = 0,936$.

Альтернативный способ решения:

Можно найти вероятность противоположного события A', которое заключается в том, что для поражения мишени потребовалось более трех выстрелов. Это означает, что первые три выстрела были промахами. Вероятность этого события $P(A')$ равна:

$P(A') = q \cdot q \cdot q = q^3 = (0,4)^3 = 0,064$.

Искомая вероятность $P$ является дополнением вероятности $P(A')$ до единицы:

$P = 1 - P(A') = 1 - 0,064 = 0,936$.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 0,936