Номер 4.82, страница 120 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.82. Брошены три игральные кости. Через $n$ обозначим сумму выпавших очков. Что вероятнее: $n = 11$ или $n = 12$?

Для решения задачи необходимо определить, для какого из двух событий — «сумма очков равна 11» или «сумма очков равна 12» — существует большее количество благоприятных исходов. Общее число всех возможных исходов при бросании трех игральных костей составляет $6 \times 6 \times 6 = 6^3 = 216$, так как для каждой из трех костей есть 6 равновероятных вариантов.

n = 11
Найдем все комбинации (тройки) чисел от 1 до 6, которые в сумме дают 11. Поскольку кости можно считать различными, порядок выпавших чисел имеет значение. Перечислим все уникальные наборы чисел (разбиения) и для каждого найдем количество возможных перестановок.
- Комбинация (6, 4, 1): все числа различны, количество исходов (перестановок) равно $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$.
- Комбинация (6, 3, 2): все числа различны, количество исходов равно $3! = 6$.
- Комбинация (5, 5, 1): два числа одинаковы, количество исходов равно $\frac{3!}{2!} = 3$.
- Комбинация (5, 4, 2): все числа различны, количество исходов равно $3! = 6$.
- Комбинация (5, 3, 3): два числа одинаковы, количество исходов равно $\frac{3!}{2!} = 3$.
- Комбинация (4, 4, 3): два числа одинаковы, количество исходов равно $\frac{3!}{2!} = 3$.
Общее число благоприятных исходов для суммы 11 составляет: $6 + 6 + 3 + 6 + 3 + 3 = 27$.
Вероятность этого события: $P(n=11) = \frac{27}{216}$.

n = 12
Аналогичным образом найдем число благоприятных исходов для суммы, равной 12.
- Комбинация (6, 5, 1): все числа различны, количество исходов равно $3! = 6$.
- Комбинация (6, 4, 2): все числа различны, количество исходов равно $3! = 6$.
- Комбинация (6, 3, 3): два числа одинаковы, количество исходов равно $\frac{3!}{2!} = 3$.
- Комбинация (5, 5, 2): два числа одинаковы, количество исходов равно $\frac{3!}{2!} = 3$.
- Комбинация (5, 4, 3): все числа различны, количество исходов равно $3! = 6$.
- Комбинация (4, 4, 4): все числа одинаковы, количество исходов равно $\frac{3!}{3!} = 1$.
Общее число благоприятных исходов для суммы 12 составляет: $6 + 6 + 3 + 3 + 6 + 1 = 25$.
Вероятность этого события: $P(n=12) = \frac{25}{216}$.

Сравнивая количество благоприятных исходов, мы видим, что для суммы 11 их 27, а для суммы 12 — 25. Поскольку $27 > 25$, событие, при котором сумма очков равна 11, является более вероятным, чем событие, при котором сумма равна 12.
Ответ: Вероятнее, что сумма выпавших очков будет равна 11.