Номер 4.76, страница 120 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.76. Шесть учеников случайно расселись за круглым столом. Какова вероятность того, что определенные 2 подруги сядут рядом?

Для решения этой задачи по теории вероятностей можно использовать два основных подхода. Рассмотрим оба.

Способ 1: Комбинаторный подход (с использованием перестановок)

Этот метод основан на классическом определении вероятности: отношение числа благоприятных исходов к общему числу всех равновероятных исходов.

1. Сначала найдем общее число $N$ всех возможных способов рассадить 6 учеников за круглым столом. В отличие от рассадки в ряд, для круглого стола число различных перестановок для $n$ объектов равно $(n-1)!$. Это связано с тем, что рассадки, которые можно получить друг из друга поворотом стола, считаются одинаковыми.

Для $n=6$ учеников общее число уникальных рассадок составляет:

$N = (6 - 1)! = 5! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 = 120$.

2. Теперь найдем число $M$ благоприятных исходов. Благоприятный исход — это рассадка, при которой две определенные подруги сидят рядом. Чтобы посчитать такие рассадки, представим этих двух подруг как единый неделимый объект. Тогда нам нужно рассадить не 6, а 5 "объектов" (этот единый объект и оставшиеся 4 ученика).

Число способов рассадить 5 таких объектов за круглым столом равно $(5 - 1)! = 4! = 24$.

Однако внутри нашего "единого объекта" две подруги могут поменяться местами (первая слева, вторая справа, и наоборот). Это дает $2! = 2$ варианта для каждой из 24 рассадок "объектов".

Следовательно, общее число благоприятных исходов $M$ равно:

$M = (5 - 1)! \times 2! = 4! \times 2 = 24 \times 2 = 48$.

3. Наконец, вычислим искомую вероятность $P$ по формуле $P = \frac{M}{N}$:

$P = \frac{48}{120} = \frac{2 \times 24}{5 \times 24} = \frac{2}{5}$.

Ответ: $\frac{2}{5}$.

Способ 2: Метод фиксации одного элемента

Этот способ часто оказывается проще и нагляднее для задач с рассадкой за круглым столом.

1. Зафиксируем одну из подруг (назовем ее А) на произвольном месте. Поскольку все места за круглым столом изначально равноправны, этот выбор не влияет на итоговую вероятность.

2. После того как подруга А заняла свое место, для остальных учеников, включая ее подругу Б, осталось $6 - 1 = 5$ свободных мест.

3. Чтобы подруги сидели рядом, подруга Б должна занять одно из двух мест, непосредственно примыкающих к месту подруги А, — одно слева и одно справа от нее.

4. Таким образом, из 5 оставшихся свободных мест только 2 являются благоприятными для подруги Б. Вероятность того, что подруга Б случайным образом займет одно из этих двух мест, равна:

$P = \frac{\text{число благоприятных мест}}{\text{общее число свободных мест}} = \frac{2}{5}$.

Ответ: $\frac{2}{5}$.