Номер 4.72, страница 120 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.72. В районной олимпиаде по математике участвовали 15 учеников 10 класса, из которых 8 отличники учебы. Какова вероятность того, что первые призовые места заняли отличники учебы? Считается, что все 15 участников имеют равные возможности победить в данной олимпиаде.

Для решения данной задачи воспользуемся классическим определением вероятности, согласно которому вероятность события $P(A)$ равна отношению числа благоприятствующих ему исходов $m$ к общему числу всех равновозможных исходов $n$: $P(A) = \frac{m}{n}$.

По условию, в олимпиаде участвуют 15 учеников 10 класса, из которых 8 являются отличниками учебы. Событие $A$, вероятность которого нам нужно найти, заключается в том, что первые призовые места заняли отличники. В условии не указано точное количество призовых мест. Так как используется множественное число ("места"), а на олимпиадах обычно присуждают три призовых места (первое, второе и третье), будем исходить из этого стандартного предположения.

Найдем общее число исходов $n$. Это количество способов, которыми можно распределить три призовых места среди 15 участников. Поскольку важен порядок, в котором распределяются места (кто занял 1-е, 2-е и 3-е), мы используем формулу для числа размещений из $N$ по $k$: $A_N^k = \frac{N!}{(N-k)!}$.В нашем случае $N=15$ и $k=3$:$n = A_{15}^3 = \frac{15!}{(15-3)!} = \frac{15!}{12!} = 15 \times 14 \times 13 = 2730$.Таким образом, существует 2730 различных вариантов распределения трех призовых мест среди 15 учеников.

Теперь найдем число благоприятствующих исходов $m$. Это исходы, при которых все три призовых места достаются отличникам. Это количество способов распределить 3 призовых места среди 8 отличников.В этом случае $N=8$ и $k=3$:$m = A_8^3 = \frac{8!}{(8-3)!} = \frac{8!}{5!} = 8 \times 7 \times 6 = 336$.Таким образом, существует 336 вариантов, при которых победителями становятся только отличники.

Теперь можем вычислить искомую вероятность, разделив число благоприятных исходов на общее число исходов:$P(A) = \frac{m}{n} = \frac{336}{2730}$.Сократим полученную дробь для получения окончательного ответа:$P(A) = \frac{336}{2730} = \frac{8 \times 7 \times 6}{15 \times 14 \times 13} = \frac{8 \times 7 \times 6}{15 \times (2 \times 7) \times 13} = \frac{8 \times 6}{15 \times 2 \times 13} = \frac{4 \times 6}{15 \times 13} = \frac{24}{195}$.Разделим числитель и знаменатель на 3:$P(A) = \frac{24 \div 3}{195 \div 3} = \frac{8}{65}$.

Эту же задачу можно решить и через последовательное вычисление вероятностей (условная вероятность).Вероятность того, что первое место займет отличник, составляет $\frac{8}{15}$.После того как один отличник занял первое место, осталось 14 участников, из которых 7 — отличники. Вероятность того, что второе место также займет отличник, равна $\frac{7}{14} = \frac{1}{2}$.Затем останется 13 участников, из которых 6 — отличники. Вероятность того, что и третье место займет отличник, равна $\frac{6}{13}$.Итоговая вероятность является произведением этих вероятностей:$P(A) = \frac{8}{15} \times \frac{7}{14} \times \frac{6}{13} = \frac{8}{15} \times \frac{1}{2} \times \frac{6}{13} = \frac{48}{390} = \frac{8}{65}$.Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $\frac{8}{65}$