Номер 4.66, страница 119 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.66. Даны случайные события $A$, $B$ и $C$. Выразите через $A$, $B$ и $C$ событие, выражающее, что:

1) произошло только событие $A$;

2) произошли события $A$ и $B$, но $C$ не произошло;

3) все три события произошли;

4) произошло по меньшей мере одно из данных событий;

5) произошли по меньшей мере два из данных событий;

6) не произошло ни одно из этих событий;

7) число происшедших событий не превышает двух.

Для выражения событий будем использовать алгебру событий: произведение событий (например, $AB$) означает их одновременное наступление (пересечение $A \cap B$), сумма событий (например, $A+B$) означает наступление хотя бы одного из них (объединение $A \cup B$), а событие с чертой наверху (например, $\bar{A}$) означает противоположное событие (дополнение), то есть ненаступление события $A$.

1) произошло только событие А;
Это означает, что событие $A$ произошло, а события $B$ и $C$ не произошли. Ненаступление события $B$ выражается как $\bar{B}$, а ненаступление $C$ — как $\bar{C}$. Так как все эти условия должны выполняться одновременно, искомое событие является произведением событий $A$, $\bar{B}$ и $\bar{C}$.
Ответ: $A\bar{B}\bar{C}$

2) произошли события А и В, но С не произошло;
Это событие означает, что $A$ и $B$ произошли одновременно, и при этом не произошло событие $C$. Таким образом, это произведение событий $A$, $B$ и $\bar{C}$.
Ответ: $AB\bar{C}$

3) все три события произошли;
Это означает, что события $A$, $B$ и $C$ наступили одновременно. Это событие является произведением всех трех событий.
Ответ: $ABC$

4) произошло по меньшей мере одно из данных событий;
Фраза "по меньшей мере одно" означает, что произошло или событие $A$, или событие $B$, или событие $C$, или любая их комбинация. Это определение суммы (объединения) событий.
Ответ: $A+B+C$

5) произошло по меньшей мере два из данных событий;
Это означает, что произошла хотя бы одна из следующих комбинаций: ($A$ и $B$), или ($A$ и $C$), или ($B$ и $C$). Каждая пара в скобках представляет собой произведение событий ($AB$, $AC$, $BC$). Итоговое событие является суммой этих произведений.
Ответ: $AB+AC+BC$

6) не произошло ни одно из этих событий;
Это означает, что не произошло событие $A$, и не произошло событие $B$, и не произошло событие $C$. Это соответствует одновременному наступлению событий $\bar{A}$, $\bar{B}$ и $\bar{C}$, то есть их произведению. Также это событие является противоположным событию "произошло по меньшей мере одно" (пункт 4).
Ответ: $\bar{A}\bar{B}\bar{C}$

7) число происшедших событий не превышает двух.
Событие "число происшедших событий не превышает двух" означает, что произошло 0, 1 или 2 события. Это событие является противоположным событию "произошли все три события". Событие "произошли все три события" выражается как $ABC$ (пункт 3). Следовательно, искомое событие — это противоположное к $ABC$.
Ответ: $\overline{ABC}$