Номер 4.67, страница 119 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.67. Известно, что события A и B произошли, но C не произошло.

Определите, произошло ли событие:

1) $A + BC$;

2) $(A + B)C$;

3) $\overline{A}B + C$;

4) $ABC$.

Для решения этой задачи воспользуемся алгеброй событий. Если событие произошло, будем считать его истинным (1), а если не произошло — ложным (0). По условию задачи:

Событие $A$ произошло $\implies A = 1$ (истина).

Событие $B$ произошло $\implies B = 1$ (истина).

Событие $C$ не произошло $\implies C = 0$ (ложь).

Противоположное событие $\bar{X}$ происходит, когда не происходит $X$. Таким образом, событие $\bar{A}$ (противоположное $A$) не произошло, то есть $\bar{A} = 0$.

Сумма событий (обозначается знаком "+") соответствует логической операции «ИЛИ». Событие $X+Y$ происходит, если произошло хотя бы одно из событий $X$ или $Y$. В логических вычислениях $1+1=1$, $1+0=1$, $0+0=0$.

Произведение событий (обозначается написанием рядом, например, $XY$) соответствует логической операции «И». Событие $XY$ происходит, если произошли оба события $X$ и $Y$. В логических вычислениях $1 \cdot 1=1$, $1 \cdot 0=0$.

Теперь проанализируем каждое из предложенных событий:

1) $A + BC$;

Это событие означает, что произошло событие $A$ или произошло произведение событий $B$ и $C$. Проверим истинность этого выражения, подставив числовые значения: $A + BC = 1 + (1 \cdot 0) = 1 + 0 = 1$.
Поскольку результат равен 1 (истина), событие произошло. Это следует из того, что произошло событие $A$, а для истинности суммы достаточно истинности хотя бы одного из слагаемых.
Ответ: произошло.

2) $(A + B)C$;

Это событие означает произведение суммы событий $A$ и $B$ на событие $C$. Подставим значения: $(A + B)C = (1 + 1) \cdot 0$.
В алгебре событий $1+1=1$ (событие "$A$ или $B$" произошло, если произошло хотя бы одно из них). Таким образом, получаем: $1 \cdot 0 = 0$.
Поскольку результат равен 0 (ложь), событие не произошло. Для наступления произведения необходимо, чтобы все сомножители были истинны, а событие $C$ не произошло (является ложным).
Ответ: не произошло.

3) $\bar{A}B + C$;

Это событие означает сумму произведения событий $\bar{A}$ и $B$ и события $C$. Поскольку $A=1$, то $\bar{A}=0$. Подставим значения: $\bar{A}B + C = (0 \cdot 1) + 0 = 0 + 0 = 0$.
Результат равен 0 (ложь), следовательно, событие не произошло. Ни одно из слагаемых ($\bar{A}B$ и $C$) не произошло.
Ответ: не произошло.

4) $ABC$.

Это событие означает произведение событий $A$, $B$ и $C$. Подставим значения: $ABC = 1 \cdot 1 \cdot 0 = 0$.
Результат равен 0 (ложь), событие не произошло, так как для наступления произведения необходимо, чтобы все три события произошли, а $C$ не произошло.
Ответ: не произошло.