Страница 119 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.61. Два стрелка произвели по одному выстрелу по мишени. Вероятность поражения мишени первым стрелком равна 0,7, а вторым – 0,8. Какова вероятность того, что в мишень:

1) попадет только один стрелок;

2) попадет по меньшей мере один стрелок;

3) попадут оба стрелка?

Какова вероятность того, что по меньшей мере один стрелок промахнется?

Для решения задачи введем обозначения для основных событий:

$A$ — событие, состоящее в том, что первый стрелок попал в мишень.

$B$ — событие, состоящее в том, что второй стрелок попал в мишень.

Согласно условию, вероятности этих событий равны:

$P(A) = 0,7$

$P(B) = 0,8$

Поскольку выстрелы производятся разными стрелками, эти события являются независимыми.

Также нам понадобятся вероятности противоположных событий (промахов):

$\bar{A}$ — событие, когда первый стрелок промахнулся. Его вероятность: $P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0,7 = 0,3$.

$\bar{B}$ — событие, когда второй стрелок промахнулся. Его вероятность: $P(\bar{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0,8 = 0,2$.

1) попадет только один стрелок

Это событие означает, что происходит один из двух несовместных исходов: либо первый стрелок попадает, а второй промахивается (событие $A \cap \bar{B}$), либо первый промахивается, а второй попадает (событие $\bar{A} \cap B$). Вероятность такого события равна сумме вероятностей этих двух исходов.

Вероятность того, что первый попал, а второй промахнулся (из-за независимости событий):

$P(A \cap \bar{B}) = P(A) \cdot P(\bar{B}) = 0,7 \cdot 0,2 = 0,14$

Вероятность того, что первый промахнулся, а второй попал:

$P(\bar{A} \cap B) = P(\bar{A}) \cdot P(B) = 0,3 \cdot 0,8 = 0,24$

Искомая вероятность:

$P_1 = P(A \cap \bar{B}) + P(\bar{A} \cap B) = 0,14 + 0,24 = 0,38$

Ответ: 0,38.

2) попадет по меньшей мере один стрелок

Событие «попадет по меньшей мере один стрелок» означает, что в мишень попадет один или оба стрелка. Проще всего найти вероятность противоположного события — «оба стрелка промахнулись» — и вычесть ее из 1.

Вероятность того, что оба стрелка промахнулись (событие $\bar{A} \cap \bar{B}$):

$P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\bar{A}) \cdot P(\bar{B}) = 0,3 \cdot 0,2 = 0,06$

Тогда вероятность того, что попадет хотя бы один стрелок, равна:

$P_2 = 1 - P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 1 - 0,06 = 0,94$

Ответ: 0,94.

3) попадут оба стрелка

Это событие ($A \cap B$) означает, что и первый, и второй стрелки попали в цель. Так как события независимы, их вероятности перемножаются.

$P_3 = P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = 0,7 \cdot 0,8 = 0,56$

Ответ: 0,56.

Какова вероятность того, что по меньшей мере один стрелок промахнется?

Событие «по меньшей мере один стрелок промахнется» является противоположным событию «оба стрелка попали».

Вероятность того, что оба стрелка попали, была найдена в пункте 3: $P(A \cap B) = 0,56$.

Следовательно, вероятность того, что хотя бы один стрелок промахнется, равна:

$P_4 = 1 - P(A \cap B) = 1 - 0,56 = 0,44$

Ответ: 0,44.

4.62. В предыдущей задаче найдите вероятность того, что первый стрелок поразит мишень, а второй – промахнется.

Для решения этой задачи необходимо использовать данные из предыдущей задачи (4.61). Поскольку условия предыдущей задачи не предоставлены, мы будем исходить из стандартных условий для такого типа задач. Предположим, что в задаче 4.61 были даны следующие вероятности попадания для двух стрелков:

Вероятность попадания в мишень для первого стрелка: $p_1 = 0.7$.

Вероятность попадания в мишень для второго стрелка: $p_2 = 0.8$.

Выстрелы обоих стрелков считаются независимыми событиями.

Обозначим события:

$A_1$ – событие, при котором первый стрелок поражает мишень.

$A_2$ – событие, при котором второй стрелок поражает мишень.

Из предположенных условий имеем:

$P(A_1) = 0.7$

$P(A_2) = 0.8$

Нам нужно найти вероятность события, при котором первый стрелок поразит мишень, а второй промахнется. Это означает, что должно произойти событие $A_1$ и событие, противоположное событию $A_2$ (обозначим его как $\bar{A_2}$).

Вероятность промаха для второго стрелка $P(\bar{A_2})$ вычисляется как разность между единицей и вероятностью попадания:

$P(\bar{A_2}) = 1 - P(A_2) = 1 - 0.8 = 0.2$

Поскольку события $A_1$ (попадание первого) и $\bar{A_2}$ (промах второго) являются независимыми, вероятность их одновременного наступления равна произведению их вероятностей:

$P(A_1 \text{ и } \bar{A_2}) = P(A_1) \times P(\bar{A_2})$

Подставляем числовые значения:

$P(A_1 \text{ и } \bar{A_2}) = 0.7 \times 0.2 = 0.14$

Ответ: 0.14

4.63. В среднем из 100 электролампочек, имеющихся в магазине, одна бывает бракованной. В этом магазине было куплено 2 лампочки. Какова вероятность того, что среди купленных лампочек:

1) не окажется бракованной;

2) только одна бракованная;

3) обе бракованные?

Пусть событие Б означает, что выбранная лампочка — бракованная, а событие Н — что лампочка не бракованная (исправная).

Исходя из условия задачи, что в среднем из 100 электролампочек одна бракованная, мы можем определить вероятности этих событий для одной случайно выбранной лампочки:
Вероятность того, что лампочка бракованная: $P(Б) = \frac{1}{100} = 0.01$
Вероятность того, что лампочка исправная, является вероятностью противоположного события: $P(Н) = 1 - P(Б) = 1 - 0.01 = 0.99$

Покупка двух лампочек — это два независимых испытания. Мы можем вычислить вероятности для каждого из требуемых исходов.

Это событие означает, что обе купленные лампочки исправны. Вероятность этого равна произведению вероятностей того, что первая лампочка исправна и вторая лампочка исправна.
$P(\text{Н и Н}) = P(Н) \times P(Н) = 0.99 \times 0.99 = 0.9801$
Ответ: $0.9801$

Это событие может произойти двумя взаимоисключающими способами:
а) Первая лампочка бракованная, а вторая — исправная.
б) Первая лампочка исправная, а вторая — бракованная.
Вероятность случая (а): $P(Б) \times P(Н) = 0.01 \times 0.99 = 0.0099$
Вероятность случая (б): $P(Н) \times P(Б) = 0.99 \times 0.01 = 0.0099$
Общая вероятность того, что только одна лампочка будет бракованной, равна сумме вероятностей этих двух случаев:
$P(\text{одна бракованная}) = 0.0099 + 0.0099 = 0.0198$
Ответ: $0.0198$

Это событие означает, что обе купленные лампочки оказались бракованными. Вероятность этого равна произведению вероятностей того, что первая лампочка бракованная и вторая лампочка бракованная.
$P(\text{Б и Б}) = P(Б) \times P(Б) = 0.01 \times 0.01 = 0.0001$
Ответ: $0.0001$

4.64. Было приобретено по одному билету в двух видах лотереи. Событие A означает выпадение выигрыша по первому билету, а B – по второму билету. Каков смысл событий $P = A\bar{B} + \bar{A}B$ и $\emptyset = \bar{A}\bar{B} + \bar{A}B + AB$?

Для ответа на вопрос разберем введенные обозначения и операции над событиями.

Событие A: выигрыш по первому билету.
Событие B: выигрыш по второму билету.
Следовательно, противоположные события:
$\bar{A}$: нет выигрыша по первому билету.
$\bar{B}$: нет выигрыша по второму билету.

В алгебре событий:

• Произведение событий (например, $XY$) означает их одновременное наступление (пересечение, "И").
• Сумма событий (например, $X+Y$) означает наступление хотя бы одного из них (объединение, "ИЛИ").

Смысл события $P = A \bar{B} + \bar{A} B$

Это событие представляет собой сумму двух несовместных (взаимоисключающих) событий: $A \bar{B}$ и $\bar{A} B$.

1. Событие $A \bar{B}$ является произведением события $A$ (выигрыш по первому билету) и события $\bar{B}$ (нет выигрыша по второму билету). Таким образом, $A \bar{B}$ означает, что выигрыш выпал только на первый билет.

2. Событие $\bar{A} B$ является произведением события $\bar{A}$ (нет выигрыша по первому билету) и события $B$ (выигрыш по второму билету). Таким образом, $\bar{A} B$ означает, что выигрыш выпал только на второй билет.

Сумма $A \bar{B} + \bar{A} B$ означает, что произошло либо событие $A \bar{B}$, либо событие $\bar{A} B$. Объединяя их смысл, получаем, что выигрыш выпал ровно по одному из двух билетов.

Ответ: Событие $P$ означает, что выиграл ровно один из двух лотерейных билетов.

Смысл события $\varnothing = \bar{A} \bar{B} + A \bar{B} + \bar{A} B + AB$

(Примечание: символ $\varnothing$ в данном контексте, скорее всего, является опечаткой и используется для обозначения нового события, так как обычно он означает невозможное событие, а данное выражение описывает достоверное событие, которое часто обозначают как $\Omega$).

Данное событие является суммой четырех несовместных событий, которые составляют полную группу всех возможных исходов для двух лотерейных билетов:

1. $\bar{A} \bar{B}$: нет выигрыша ни по первому, ни по второму билету (проиграли оба).
2. $A \bar{B}$: есть выигрыш по первому билету и нет выигрыша по второму (выиграл только первый).
3. $\bar{A} B$: нет выигрыша по первому билету и есть выигрыш по второму (выиграл только второй).
4. $AB$: есть выигрыш и по первому, и по второму билету (выиграли оба).

Сумма этих четырех событий представляет собой объединение всех возможных исходов эксперимента (покупки двух билетов). Такое событие, которое обязательно произойдет в результате испытания, называется достоверным событием.

Это можно также показать алгебраически. Сгруппируем слагаемые:

$ (\bar{A} \bar{B} + A \bar{B}) + (\bar{A} B + AB) $

Вынесем общие множители за скобки, используя дистрибутивный закон:

$ (\bar{A} + A) \bar{B} + (\bar{A} + A) B $

Сумма противоположных событий $A + \bar{A}$ является достоверным событием (обозначим его $\Omega$), так как либо событие $A$ произойдет, либо не произойдет.

$ \Omega \bar{B} + \Omega B $

Произведение любого события с достоверным событием равно самому этому событию.

$ \bar{B} + B $

Вновь получаем сумму противоположных событий, которая равна достоверному событию $\Omega$.

Ответ: Событие, описанное выражением $\bar{A} \bar{B} + A \bar{B} + \bar{A} B + AB$, является достоверным событием. Это означает, что в результате испытания обязательно произойдет один из четырех возможных исходов (либо не будет выигрышей, либо выиграет только один билет, либо выиграют оба).

4.65. Для случайных событий A, B и C определите смысл равенства:

1) $A \cdot B \cdot C = A$

2) $A + B + C = A$

1) A ⋅ B ⋅ C = A;

В теории вероятностей произведение событий, обозначаемое как $A \cdot B \cdot C$ или в терминах теории множеств как $A \cap B \cap C$, представляет собой событие, которое наступает тогда и только тогда, когда наступают все три события $A$, $B$ и $C$ одновременно (их пересечение).

Равенство $A \cdot B \cdot C = A$ означает, что событие "наступают $A$, $B$ и $C$ одновременно" эквивалентно событию "наступает $A$".

Проанализируем это условие. Если наступило событие $A$, то, согласно равенству, должно наступить и событие $A \cdot B \cdot C$. Это, в свою очередь, означает, что также наступили события $B$ и $C$. Следовательно, наступление события $A$ влечет за собой наступление событий $B$ и $C$.

В терминах теории множеств, это означает, что множество элементарных исходов, благоприятствующих событию $A$, является подмножеством множества исходов, благоприятствующих событию $B$, и одновременно подмножеством множества исходов, благоприятствующих событию $C$. Математически это записывается как:

$A \subseteq B$ и $A \subseteq C$.

Из этого следует, что событие $A$ является подмножеством пересечения событий $B$ и $C$: $A \subseteq (B \cap C)$. То есть, событие $A$ является частным случаем совместного наступления событий $B$ и $C$.

Наглядно это можно представить с помощью диаграммы Венна, где область, представляющая событие $A$, полностью содержится внутри пересечения областей событий $B$ и $C$.

Ответ: Равенство означает, что наступление события $A$ влечет за собой обязательное наступление событий $B$ и $C$.

2) A + B + C = A.

Сумма событий, обозначаемая как $A + B + C$ или в терминах теории множеств как $A \cup B \cup C$, представляет собой событие, которое наступает тогда, когда наступает хотя бы одно из событий $A$, $B$ или $C$ (их объединение).

Равенство $A + B + C = A$ означает, что событие "наступает хотя бы одно из событий $A, B, C$" эквивалентно событию "наступает $A$".

Проанализируем это условие. Если наступило событие $B$, то по определению суммы наступило и событие $A+B+C$. А так как $A+B+C=A$, значит, наступило и событие $A$. Аналогично, если наступило событие $C$, то наступит и событие $A$. Таким образом, наступление любого из событий $B$ или $C$ влечет за собой наступление события $A$.

В терминах теории множеств, это означает, что множество элементарных исходов, благоприятствующих событию $B$, является подмножеством множества исходов, благоприятствующих событию $A$. То же самое верно и для события $C$. Математически это записывается как:

$B \subseteq A$ и $C \subseteq A$.

Это означает, что события $B$ и $C$ являются частными случаями события $A$. Если происходит событие $B$ или событие $C$, то автоматически происходит и событие $A$.

Наглядно это можно представить с помощью диаграммы Венна, где области, представляющие события $B$ и $C$, полностью содержатся внутри области события $A$.

Ответ: Равенство означает, что наступление любого из событий $B$ или $C$ влечет за собой обязательное наступление события $A$.

4.66. Даны случайные события $A$, $B$ и $C$. Выразите через $A$, $B$ и $C$ событие, выражающее, что:

1) произошло только событие $A$;

2) произошли события $A$ и $B$, но $C$ не произошло;

3) все три события произошли;

4) произошло по меньшей мере одно из данных событий;

5) произошли по меньшей мере два из данных событий;

6) не произошло ни одно из этих событий;

7) число происшедших событий не превышает двух.

Для выражения событий будем использовать алгебру событий: произведение событий (например, $AB$) означает их одновременное наступление (пересечение $A \cap B$), сумма событий (например, $A+B$) означает наступление хотя бы одного из них (объединение $A \cup B$), а событие с чертой наверху (например, $\bar{A}$) означает противоположное событие (дополнение), то есть ненаступление события $A$.

1) произошло только событие А;
Это означает, что событие $A$ произошло, а события $B$ и $C$ не произошли. Ненаступление события $B$ выражается как $\bar{B}$, а ненаступление $C$ — как $\bar{C}$. Так как все эти условия должны выполняться одновременно, искомое событие является произведением событий $A$, $\bar{B}$ и $\bar{C}$.
Ответ: $A\bar{B}\bar{C}$

2) произошли события А и В, но С не произошло;
Это событие означает, что $A$ и $B$ произошли одновременно, и при этом не произошло событие $C$. Таким образом, это произведение событий $A$, $B$ и $\bar{C}$.
Ответ: $AB\bar{C}$

3) все три события произошли;
Это означает, что события $A$, $B$ и $C$ наступили одновременно. Это событие является произведением всех трех событий.
Ответ: $ABC$

4) произошло по меньшей мере одно из данных событий;
Фраза "по меньшей мере одно" означает, что произошло или событие $A$, или событие $B$, или событие $C$, или любая их комбинация. Это определение суммы (объединения) событий.
Ответ: $A+B+C$

5) произошло по меньшей мере два из данных событий;
Это означает, что произошла хотя бы одна из следующих комбинаций: ($A$ и $B$), или ($A$ и $C$), или ($B$ и $C$). Каждая пара в скобках представляет собой произведение событий ($AB$, $AC$, $BC$). Итоговое событие является суммой этих произведений.
Ответ: $AB+AC+BC$

6) не произошло ни одно из этих событий;
Это означает, что не произошло событие $A$, и не произошло событие $B$, и не произошло событие $C$. Это соответствует одновременному наступлению событий $\bar{A}$, $\bar{B}$ и $\bar{C}$, то есть их произведению. Также это событие является противоположным событию "произошло по меньшей мере одно" (пункт 4).
Ответ: $\bar{A}\bar{B}\bar{C}$

7) число происшедших событий не превышает двух.
Событие "число происшедших событий не превышает двух" означает, что произошло 0, 1 или 2 события. Это событие является противоположным событию "произошли все три события". Событие "произошли все три события" выражается как $ABC$ (пункт 3). Следовательно, искомое событие — это противоположное к $ABC$.
Ответ: $\overline{ABC}$

4.67. Известно, что события A и B произошли, но C не произошло.

Определите, произошло ли событие:

1) $A + BC$;

2) $(A + B)C$;

3) $\overline{A}B + C$;

4) $ABC$.

Для решения этой задачи воспользуемся алгеброй событий. Если событие произошло, будем считать его истинным (1), а если не произошло — ложным (0). По условию задачи:

Событие $A$ произошло $\implies A = 1$ (истина).

Событие $B$ произошло $\implies B = 1$ (истина).

Событие $C$ не произошло $\implies C = 0$ (ложь).

Противоположное событие $\bar{X}$ происходит, когда не происходит $X$. Таким образом, событие $\bar{A}$ (противоположное $A$) не произошло, то есть $\bar{A} = 0$.

Сумма событий (обозначается знаком "+") соответствует логической операции «ИЛИ». Событие $X+Y$ происходит, если произошло хотя бы одно из событий $X$ или $Y$. В логических вычислениях $1+1=1$, $1+0=1$, $0+0=0$.

Произведение событий (обозначается написанием рядом, например, $XY$) соответствует логической операции «И». Событие $XY$ происходит, если произошли оба события $X$ и $Y$. В логических вычислениях $1 \cdot 1=1$, $1 \cdot 0=0$.

Теперь проанализируем каждое из предложенных событий:

1) $A + BC$;

Это событие означает, что произошло событие $A$ или произошло произведение событий $B$ и $C$. Проверим истинность этого выражения, подставив числовые значения: $A + BC = 1 + (1 \cdot 0) = 1 + 0 = 1$.
Поскольку результат равен 1 (истина), событие произошло. Это следует из того, что произошло событие $A$, а для истинности суммы достаточно истинности хотя бы одного из слагаемых.
Ответ: произошло.

2) $(A + B)C$;

Это событие означает произведение суммы событий $A$ и $B$ на событие $C$. Подставим значения: $(A + B)C = (1 + 1) \cdot 0$.
В алгебре событий $1+1=1$ (событие "$A$ или $B$" произошло, если произошло хотя бы одно из них). Таким образом, получаем: $1 \cdot 0 = 0$.
Поскольку результат равен 0 (ложь), событие не произошло. Для наступления произведения необходимо, чтобы все сомножители были истинны, а событие $C$ не произошло (является ложным).
Ответ: не произошло.

3) $\bar{A}B + C$;

Это событие означает сумму произведения событий $\bar{A}$ и $B$ и события $C$. Поскольку $A=1$, то $\bar{A}=0$. Подставим значения: $\bar{A}B + C = (0 \cdot 1) + 0 = 0 + 0 = 0$.
Результат равен 0 (ложь), следовательно, событие не произошло. Ни одно из слагаемых ($\bar{A}B$ и $C$) не произошло.
Ответ: не произошло.

4) $ABC$.

Это событие означает произведение событий $A$, $B$ и $C$. Подставим значения: $ABC = 1 \cdot 1 \cdot 0 = 0$.
Результат равен 0 (ложь), событие не произошло, так как для наступления произведения необходимо, чтобы все три события произошли, а $C$ не произошло.
Ответ: не произошло.

4.68. Какова вероятность того, что при трехкратном бросании игральной кости выпадает разное число очков?

Для решения этой задачи мы будем использовать классическое определение вероятности, согласно которому вероятность события равна отношению числа благоприятствующих исходов к общему числу всех равновозможных исходов.

1. Найдем общее число всех возможных исходов.

При каждом броске игральной кости есть 6 возможных исходов (может выпасть число от 1 до 6). Поскольку кость бросают три раза, и результаты бросков независимы друг от друга, общее число всех возможных комбинаций выпавших очков можно найти, перемножив количество исходов для каждого броска.

Общее число исходов $N$ равно:

$N = 6 \times 6 \times 6 = 6^3 = 216$

2. Найдем число благоприятствующих исходов.

Благоприятствующим исходом является тот, при котором все три выпавших числа различны. Давайте посчитаем, сколькими способами это может произойти.

• При первом броске может выпасть любое из 6 чисел.
• При втором броске должно выпасть число, не совпадающее с первым. Таким образом, остается 5 возможных вариантов.
• При третьем броске должно выпасть число, которое не совпадает ни с первым, ни со вторым. Следовательно, остается 4 возможных варианта.

Число благоприятствующих исходов $M$ равно произведению числа вариантов на каждом шаге:

$M = 6 \times 5 \times 4 = 120$

Это соответствует числу размещений без повторений из 6 элементов по 3, которое вычисляется по формуле $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$:

$M = A_6^3 = \frac{6!}{(6-3)!} = \frac{720}{6} = 120$

3. Вычислим вероятность.

Вероятность $P$ того, что выпадут три разных числа, равна отношению числа благоприятствующих исходов $M$ к общему числу исходов $N$:

$P = \frac{M}{N} = \frac{120}{216}$

Теперь сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель для 120 и 216 равен 24.

$P = \frac{120 \div 24}{216 \div 24} = \frac{5}{9}$

Ответ: $\frac{5}{9}$

4.69. В мешочке имеются 4 окрашенных и 5 неокрашенных альчиков. Какова вероятность того, что наудачу вынутые два альчика имеют разные цвета (один окрашенный, а другой – неокрашенный)?

Для решения задачи воспользуемся классической формулой вероятности $P = \frac{M}{N}$, где $N$ — общее число всех равновозможных исходов, а $M$ — число исходов, благоприятствующих событию.

1. Определим общее количество альчиков в мешочке. В нем находятся 4 окрашенных и 5 неокрашенных альчиков, следовательно, всего их $4 + 5 = 9$.

2. Найдем общее число исходов $N$. Это количество способов выбрать 2 альчика из 9 имеющихся. Поскольку порядок выбора не важен, используем формулу для числа сочетаний:

$N = C_9^2 = \frac{9!}{2!(9-2)!} = \frac{9!}{2! \cdot 7!} = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36$.

Таким образом, существует 36 различных пар альчиков, которые можно вынуть из мешочка.

3. Найдем число благоприятных исходов $M$. Благоприятный исход — это когда один из вынутых альчиков окрашенный, а другой — неокрашенный.

Число способов выбрать 1 окрашенный альчик из 4 имеющихся равно $C_4^1 = 4$.

Число способов выбрать 1 неокрашенный альчик из 5 имеющихся равно $C_5^1 = 5$.

По правилу произведения в комбинаторике, чтобы найти общее число способов выбрать один окрашенный и один неокрашенный альчик, нужно перемножить количество способов для каждого выбора:

$M = C_4^1 \times C_5^1 = 4 \times 5 = 20$.

Следовательно, существует 20 пар альчиков разного цвета.

4. Теперь можем вычислить искомую вероятность, разделив число благоприятных исходов на общее число исходов:

$P = \frac{M}{N} = \frac{20}{36}$.

Сократив дробь на 4, получаем окончательный результат:

$P = \frac{5}{9}$.

Ответ: $\frac{5}{9}$

4.70. Из отрезков длиной 2 см, 5 см, 6 см и 10 см случайно отобрали три отрезка. Какова вероятность того, что из отобранных отрезков можно составить треугольник?

Для решения данной задачи воспользуемся классическим определением вероятности: $P = \frac{m}{n}$, где $n$ — общее число всех равновозможных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию.

Сначала найдем общее число исходов $n$. У нас есть четыре отрезка с длинами 2 см, 5 см, 6 см и 10 см. Необходимо выбрать из них три отрезка. Так как порядок выбора не имеет значения, мы ищем число сочетаний из 4 элементов по 3.

Общее число способов выбрать 3 отрезка из 4 равно:$n = C_4^3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4!}{3! \cdot 1!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(3 \cdot 2 \cdot 1) \cdot 1} = 4$.

Таким образом, существует 4 возможных комбинации из трех отрезков. Перечислим их (указаны длины отрезков в см):
1. {2, 5, 6}
2. {2, 5, 10}
3. {2, 6, 10}
4. {5, 6, 10}

Теперь найдем число благоприятных исходов $m$. Благоприятный исход — это такой набор из трех отрезков, из которых можно составить треугольник. Для этого должно выполняться неравенство треугольника: сумма длин любых двух сторон должна быть больше длины третьей стороны. На практике достаточно проверить выполнение этого условия для двух самых коротких сторон и самой длинной стороны: сумма длин двух коротких сторон должна быть больше длины самой длинной.

Проверим все возможные комбинации:
1. Для набора {2, 5, 6}: Проверяем $2 + 5 > 6$. Это верно, так как $7 > 6$. Значит, из этих отрезков можно составить треугольник. Это благоприятный исход.
2. Для набора {2, 5, 10}: Проверяем $2 + 5 > 10$. Это неверно, так как $7 \ngtr 10$. Треугольник составить нельзя.
3. Для набора {2, 6, 10}: Проверяем $2 + 6 > 10$. Это неверно, так как $8 \ngtr 10$. Треугольник составить нельзя.
4. Для набора {5, 6, 10}: Проверяем $5 + 6 > 10$. Это верно, так как $11 > 10$. Значит, из этих отрезков можно составить треугольник. Это второй благоприятный исход.

Таким образом, число благоприятных исходов $m = 2$.

Вероятность того, что из отобранных отрезков можно составить треугольник, равна:$P = \frac{m}{n} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} = 0,5$.

Ответ: $0,5$

4.71. Игральная кость брошена дважды. Какова вероятность того, что:

1) хотя бы один раз выпадет очко, меньше трех;

2) хотя бы один раз выпадет единица?

При броске стандартной шестигранной игральной кости дважды общее число равновозможных исходов равно произведению числа исходов для каждого броска: $N = 6 \times 6 = 36$.

1) хотя бы один раз выпадет очко, меньше трех;

Событие "хотя бы один раз выпадет очко, меньше трех" является противоположным событию "ни разу не выпадет очко, меньше трех". Обозначим искомое событие как $A$, а противоположное ему событие как $A'$.

Событие $A'$ означает, что при каждом из двух бросков выпало число, не меньшее трех. На игральной кости есть 4 таких числа: 3, 4, 5, 6.

Количество исходов, благоприятствующих событию $A'$, равно $m' = 4 \times 4 = 16$.

Вероятность события $A'$ вычисляется как отношение числа благоприятствующих исходов к общему числу исходов:

$P(A') = \frac{m'}{N} = \frac{16}{36} = \frac{4}{9}$

Вероятность события $A$ равна разности между единицей и вероятностью противоположного события $A'$:

$P(A) = 1 - P(A') = 1 - \frac{4}{9} = \frac{9}{9} - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$

Ответ: $\frac{5}{9}$

2) хотя бы один раз выпадет единица?

Аналогично первому пункту, найдем вероятность противоположного события "ни разу не выпадет единица". Обозначим искомое событие как $B$, а противоположное ему событие как $B'$.

Событие $B'$ означает, что при каждом из двух бросков не выпала единица. На игральной кости есть 5 таких чисел: 2, 3, 4, 5, 6.

Количество исходов, благоприятствующих событию $B'$, равно $m' = 5 \times 5 = 25$.

Вероятность события $B'$ равна:

$P(B') = \frac{m'}{N} = \frac{25}{36}$

Вероятность события $B$ (хотя бы раз выпадет единица) равна:

$P(B) = 1 - P(B') = 1 - \frac{25}{36} = \frac{36}{36} - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}$

Ответ: $\frac{11}{36}$