Страница 118 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.50. В урне имеются шары белого, красного и синего цветов. События $A$, $B$ и $C$ означают, что наудачу извлеченный из урны шар окажется белого, красного или синего цвета соответственно. Поясните смысл события:

В теории вероятностей знак "+" между событиями означает их сумму (или объединение). Сумма событий — это событие, которое заключается в наступлении хотя бы одного из этих событий.

В данной задаче события A, B и C являются несовместными, так как извлеченный шар не может быть одновременно двух разных цветов.

1) A + B + C
Событие $A + B + C$ представляет собой сумму трех событий: A (извлечен белый шар), B (извлечен красный шар) и C (извлечен синий шар). Это событие наступит, если произойдет хотя бы одно из них, то есть если извлеченный шар будет белого, или красного, или синего цвета.
Поскольку по условию в урне находятся шары только этих трех цветов, то при извлечении одного шара он гарантированно будет либо белым, либо красным, либо синим. Таким образом, событие $A + B + C$ является достоверным событием, то есть оно произойдет с вероятностью, равной 1.
Ответ: Событие $A + B + C$ означает, что извлеченный шар будет белого, или красного, или синего цвета. Это достоверное событие.

2) A + B
Событие $A + B$ представляет собой сумму двух событий: A (извлечен белый шар) и B (извлечен красный шар). Это событие наступит, если извлеченный шар окажется либо белым, либо красным.
Другими словами, это событие означает, что извлеченный шар не является синим. То есть, событие $A + B$ является противоположным событию C.
Ответ: Событие $A + B$ означает, что извлеченный шар окажется либо белого, либо красного цвета.

3) A
Событие $A$ — это одно из исходных элементарных событий, определенных в условии задачи. Оно не является суммой или произведением других событий.
Смысл этого события прямо указан в условии задачи.
Ответ: Событие $A$ означает, что наудачу извлеченный из урны шар окажется белого цвета.

4.51. Событие A является следствием события B. Найдите значение события:

1) $A + B$;

2) $A \cdot B$.

Условие, что событие A является следствием события B, означает, что наступление события B неизбежно влечет за собой наступление события A. В терминах теории множеств это означает, что множество элементарных исходов, благоприятствующих событию B, является подмножеством множества элементарных исходов, благоприятствующих событию A. Это записывается как $B \subseteq A$.

Это соотношение можно наглядно представить с помощью диаграммы Эйлера-Венна, где множество B полностью находится внутри множества A.

Исходя из этого, найдем значения заданных событий.

1) A + B

Суммой событий $A + B$ (или объединением множеств $A \cup B$) называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий A или B. Поскольку событие B является подмножеством события A ($B \subseteq A$), то если наступает событие B, автоматически наступает и событие A. Если наступает событие A, то условие "наступило хотя бы одно из событий" уже выполнено. Таким образом, множество исходов, соответствующее событию $A + B$, совпадает с множеством исходов события A.

Математически: если $B \subseteq A$, то $A \cup B = A$.

Следовательно, событие $A + B$ эквивалентно событию A.

Ответ: A

2) A · B

Произведением событий $A \cdot B$ (или пересечением множеств $A \cap B$) называется событие, состоящее в совместном наступлении событий A и B. Нам нужно найти исходы, которые благоприятствуют и событию A, и событию B одновременно. Так как по условию $B \subseteq A$, все исходы, благоприятствующие B, автоматически благоприятствуют и A. Это означает, что совместное наступление A и B происходит тогда и только тогда, когда наступает событие B.

Математически: если $B \subseteq A$, то $A \cap B = B$.

Следовательно, событие $A \cdot B$ эквивалентно событию B.

Ответ: B

4.52. Событие $A$ – событие «при однократном бросании игральной кости выпала пятерка». Что означает событие $\bar{A}$ ?

В теории вероятностей событие $\bar{A}$, также обозначаемое как $A'$, называется противоположным или дополнительным событием к событию $A$. Противоположное событие $\bar{A}$ наступает в том и только в том случае, когда не наступает событие $A$.

По условию задачи, событие $A$ — это «при однократном бросании игральной кости выпала пятерка».

Стандартная игральная кость имеет шесть граней, на которых нанесены числа от 1 до 6. Множество всех элементарных исходов при однократном бросании кости — это $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.

Событию $A$ соответствует один исход — выпадение числа 5.

Противоположное событие $\bar{A}$ означает, что событие $A$ не произошло, то есть «при однократном бросании игральной кости не выпала пятерка». Это эквивалентно тому, что выпало любое другое число, кроме 5. Исходами, благоприятствующими событию $\bar{A}$, являются $\{1, 2, 3, 4, 6\}$.

Таким образом, событие $\bar{A}$ можно описать как «при однократном бросании игральной кости выпало число очков, не равное пяти».

Ответ: Событие $\bar{A}$ означает, что при однократном бросании игральной кости выпала не пятерка, то есть выпало одно из чисел: 1, 2, 3, 4 или 6.

4.53. Событие $A$ – событие «по меньшей мере один из асыков, имеющихся в коробке, красного цвета». Что означает событие $\overline{A}$?

В теории вероятностей событие, противоположное событию $A$, обозначается как $\bar{A}$ и называется дополнением или противоположным событием. Противоположное событие $\bar{A}$ происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие $A$.
В данной задаче событие $A$ формулируется как «по меньшей мере один из асыков, имеющихся в коробке, красного цвета». Фраза «по меньшей мере один» означает «один или больше». Таким образом, событие $A$ наступает, если в коробке есть 1, 2, 3 или любое большее количество красных асыков.
Событие $\bar{A}$ наступит, если событие $A$ не наступит. Это означает, что условие «по меньшей мере один красный асык» не выполнено. Единственная ситуация, когда это условие не выполняется, — это когда количество красных асыков равно нулю.
Следовательно, событие $\bar{A}$ означает, что в коробке нет ни одного красного асыка. Это можно сформулировать как «все асыки в коробке не являются красными».

Ответ: Событие $\bar{A}$ означает, что «ни один из асыков, имеющихся в коробке, не является красным» (или, что то же самое, «все асыки в коробке не красного цвета»).

4.54. Пространство элементарных событий состоит из 8 элементов: $U = \{A_1, A_2, A_3, A_4, A_5, A_6, A_7, A_8\}$. Рассмотрим события $A = \{A_1, A_3\}$, $B = \{A_2, A_4, A_6, A_8\}$, $C = \{A_1, A_3, A_5, A_7\}$, $D = \{A_4, A_5, A_6, A_7\}$, $E = \{A_1, A_2, A_7, A_8\}$. Укажите:

1) все пары несовместных событий;

2) все пары совместных событий;

3) все пары противоположных событий;

4) все пары событий, в которых одно событие является следствием другого.

В данной задаче задано пространство элементарных событий $U = \{A_1, A_2, A_3, A_4, A_5, A_6, A_7, A_8\}$ и события:

$A = \{A_1, A_3\}$

$B = \{A_2, A_4, A_6, A_8\}$

$C = \{A_1, A_3, A_5, A_7\}$

$D = \{A_4, A_5, A_6, A_7\}$

$E = \{A_1, A_2, A_7, A_8\}$

Для ответа на вопросы задачи рассмотрим все возможные пары событий.

1) все пары несовместных событий;

Несовместными называются события, которые не могут произойти одновременно. В терминах теории множеств это означает, что их пересечение является пустым множеством ($X \cap Y = \emptyset$).

Вычислим пересечения для всех пар:

$A \cap B = \{A_1, A_3\} \cap \{A_2, A_4, A_6, A_8\} = \emptyset$. События несовместны.

$A \cap C = \{A_1, A_3\} \cap \{A_1, A_3, A_5, A_7\} = \{A_1, A_3\} \neq \emptyset$.

$A \cap D = \{A_1, A_3\} \cap \{A_4, A_5, A_6, A_7\} = \emptyset$. События несовместны.

$A \cap E = \{A_1, A_3\} \cap \{A_1, A_2, A_7, A_8\} = \{A_1\} \neq \emptyset$.

$B \cap C = \{A_2, A_4, A_6, A_8\} \cap \{A_1, A_3, A_5, A_7\} = \emptyset$. События несовместны.

$B \cap D = \{A_2, A_4, A_6, A_8\} \cap \{A_4, A_5, A_6, A_7\} = \{A_4, A_6\} \neq \emptyset$.

$B \cap E = \{A_2, A_4, A_6, A_8\} \cap \{A_1, A_2, A_7, A_8\} = \{A_2, A_8\} \neq \emptyset$.

$C \cap D = \{A_1, A_3, A_5, A_7\} \cap \{A_4, A_5, A_6, A_7\} = \{A_5, A_7\} \neq \emptyset$.

$C \cap E = \{A_1, A_3, A_5, A_7\} \cap \{A_1, A_2, A_7, A_8\} = \{A_1, A_7\} \neq \emptyset$.

$D \cap E = \{A_4, A_5, A_6, A_7\} \cap \{A_1, A_2, A_7, A_8\} = \{A_7\} \neq \emptyset$.

Ответ: Парами несовместных событий являются (A, B), (A, D), (B, C).

2) все пары совместных событий;

Совместными называются события, которые могут произойти одновременно. Их пересечение не является пустым множеством ($X \cap Y \neq \emptyset$). Это все пары, которые не являются несовместными. Исходя из расчетов в пункте 1, находим эти пары.

Ответ: Парами совместных событий являются (A, C), (A, E), (B, D), (B, E), (C, D), (C, E), (D, E).

3) все пары противоположных событий;

Противоположными называются два несовместных события, объединение которых составляет всё пространство элементарных событий ($X \cap Y = \emptyset$ и $X \cup Y = U$).

Рассмотрим пары несовместных событий из пункта 1):

Пара (A, B): $A \cup B = \{A_1, A_3\} \cup \{A_2, A_4, A_6, A_8\} = \{A_1, A_2, A_3, A_4, A_6, A_8\}$. Это объединение не равно $U$, так как в нем отсутствуют элементы $A_5$ и $A_7$.

Пара (A, D): $A \cup D = \{A_1, A_3\} \cup \{A_4, A_5, A_6, A_7\} = \{A_1, A_3, A_4, A_5, A_6, A_7\}$. Это объединение не равно $U$, так как в нем отсутствуют элементы $A_2$ и $A_8$.

Пара (B, C): $B \cup C = \{A_2, A_4, A_6, A_8\} \cup \{A_1, A_3, A_5, A_7\} = \{A_1, A_2, A_3, A_4, A_5, A_6, A_7, A_8\} = U$. Так как $B \cap C = \emptyset$ и $B \cup C = U$, события B и C являются противоположными.

Ответ: Парой противоположных событий является (B, C).

4) все пары событий, в которых одно событие является следствием другого.

Событие Y является следствием события X, если наступление события X обязательно влечет за собой наступление события Y. Это означает, что множество элементарных исходов события X является подмножеством множества элементарных исходов события Y ($X \subseteq Y$).

Проверим все пары на наличие отношения включения:

Сравним A и C: $A = \{A_1, A_3\}$, $C = \{A_1, A_3, A_5, A_7\}$. Все элементы множества A содержатся в множестве C, следовательно, $A \subseteq C$. Это значит, что событие C является следствием события A.

При проверке остальных пар событий выясняется, что ни для какой другой пары отношение включения не выполняется.

Ответ: Пара (A, C), в которой событие C является следствием события A.

4.55. В предыдущей задаче выпишите элементы, принадлежащие событию:

1) $A + E$;

2) $C + D$;

3) $B \cdot D$;

4) $B - A$;

5) $\overline{A} - C$;

6) $C \cdot E + A$.

Поскольку в условии указано "В предыдущей задаче", для решения необходимо определить контекст, который обычно дается в предшествующем задании. Стандартным примером для таких задач является эксперимент с однократным броском игральной кости. Будем исходить из следующих предположений.

Пространство элементарных исходов (всех возможных результатов броска): $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.

Определим события A, B, C, D и E следующим образом: Событие A — выпало четное число очков: $A = \{2, 4, 6\}$. Событие B — выпало нечетное число очков: $B = \{1, 3, 5\}$. Событие C — число очков кратно трем: $C = \{3, 6\}$. Событие D — выпало число очков, меньшее 4: $D = \{1, 2, 3\}$. Событие E — выпало число очков, не меньшее 5: $E = \{5, 6\}$.

В алгебре событий приняты следующие обозначения: «+» — сумма событий (объединение множеств, обозначается также $\cup$). «·» — произведение событий (пересечение множеств, обозначается также $\cap$). «–» — разность событий (разность множеств, обозначается также $\setminus$). $\bar{A}$ — противоположное событие (дополнение множества, $\Omega \setminus A$).

Сумма событий $A + E$ представляет собой событие, состоящее из всех элементарных исходов, которые принадлежат хотя бы одному из событий $A$ или $E$. Это операция объединения множеств.

Имеем множества: $A = \{2, 4, 6\}$ и $E = \{5, 6\}$.

Объединяем их элементы: $A + E = A \cup E = \{2, 4, 6\} \cup \{5, 6\} = \{2, 4, 5, 6\}$.

Ответ: $\{2, 4, 5, 6\}$.

Сумма событий $C + D$ — это событие, включающее все исходы, принадлежащие либо $C$, либо $D$, либо им обоим (объединение множеств).

Имеем множества: $C = \{3, 6\}$ и $D = \{1, 2, 3\}$.

Объединяем их элементы: $C + D = C \cup D = \{3, 6\} \cup \{1, 2, 3\} = \{1, 2, 3, 6\}$.

Ответ: $\{1, 2, 3, 6\}$.

Произведение событий $B \cdot D$ — это событие, состоящее из всех исходов, которые принадлежат одновременно и событию $B$, и событию $D$. Это операция пересечения множеств.

Имеем множества: $B = \{1, 3, 5\}$ и $D = \{1, 2, 3\}$.

Находим общие для них элементы: $B \cdot D = B \cap D = \{1, 3, 5\} \cap \{1, 2, 3\} = \{1, 3\}$.

Ответ: $\{1, 3\}$.

Разность событий $B - A$ — это событие, состоящее из исходов, которые принадлежат событию $B$, но не принадлежат событию $A$.

Имеем множества: $B = \{1, 3, 5\}$ и $A = \{2, 4, 6\}$.

Из множества $B$ исключаем элементы, которые есть в $A$. Поскольку у множеств $A$ и $B$ нет общих элементов (события несовместные), разность будет равна самому множеству $B$.

$B - A = B \setminus A = \{1, 3, 5\} \setminus \{2, 4, 6\} = \{1, 3, 5\}$.

Ответ: $\{1, 3, 5\}$.

Сначала необходимо найти событие $\bar{A}$ (противоположное событию $A$). Оно включает все исходы из пространства $\Omega$, которые не входят в $A$.

$\bar{A} = \Omega \setminus A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \setminus \{2, 4, 6\} = \{1, 3, 5\}$.

Теперь выполним операцию разности $\bar{A} - C$.

Имеем множества: $\bar{A} = \{1, 3, 5\}$ и $C = \{3, 6\}$.

Из множества $\bar{A}$ исключаем элементы, принадлежащие $C$:

$\bar{A} - C = \{1, 3, 5\} \setminus \{3, 6\} = \{1, 5\}$.

Ответ: $\{1, 5\}$.

В выражениях с несколькими операциями принят следующий порядок действий: сначала выполняется умножение (пересечение), а затем сложение (объединение). Таким образом, мы ищем $(C \cdot E) + A$.

Шаг 1: Найдем произведение $C \cdot E$.

$C \cdot E = C \cap E = \{3, 6\} \cap \{5, 6\} = \{6\}$.

Шаг 2: Найдем сумму полученного результата с событием $A$.

$(C \cdot E) + A = \{6\} + A = \{6\} \cup \{2, 4, 6\} = \{2, 4, 6\}$.

Ответ: $\{2, 4, 6\}$.

4.56. Задумано натуральное число, не превышающее 20. Найдите вероятность того, что это число:
1) кратно 5;
2) кратно 3;
3) простое число;
4) составное число.

По условию задачи, задумано натуральное число, не превышающее 20. Это означает, что число выбирается случайным образом из множества натуральных чисел от 1 до 20 включительно: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}.
Общее число всех равновозможных исходов $n$ равно 20.
Вероятность события вычисляется по классической формуле $P = \frac{m}{n}$, где $m$ — число благоприятствующих этому событию исходов, а $n$ — общее число всех исходов.

1) кратно 5;
Найдем количество чисел в диапазоне от 1 до 20, которые кратны 5. Это числа: 5, 10, 15, 20.
Таким образом, число благоприятных исходов $m = 4$.
Вероятность того, что задуманное число кратно 5, вычисляется как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
$P = \frac{m}{n} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}$.
Ответ: $\frac{1}{5}$.

2) кратно 3;
Найдем количество чисел в диапазоне от 1 до 20, которые кратны 3. Это числа: 3, 6, 9, 12, 15, 18.
Таким образом, число благоприятных исходов $m = 6$.
Вероятность того, что задуманное число кратно 3, равна:
$P = \frac{m}{n} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$.
Ответ: $\frac{3}{10}$.

3) простое число;
Простыми называются натуральные числа больше 1, которые имеют ровно два делителя: 1 и само себя. В диапазоне от 1 до 20 простыми являются числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.
Таким образом, число благоприятных исходов $m = 8$.
Вероятность того, что задуманное число простое, равна:
$P = \frac{m}{n} = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}$.
Ответ: $\frac{2}{5}$.

4) составное число.
Составными называются натуральные числа больше 1, которые не являются простыми. В диапазоне от 1 до 20 составными являются числа: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20.
Число 1 не является ни простым, ни составным. Таким образом, число благоприятных исходов $m = 11$.
Вероятность того, что задуманное число составное, равна:
$P = \frac{m}{n} = \frac{11}{20}$.
Ответ: $\frac{11}{20}$.

4.57. В мешочке имеются 5 неокрашенных и 6 окрашенных альчиков. Первый вынутый альчик оказался неокрашенным. Какова вероятность того, что второй наудачу вынутый альчик также окажется неокрашенным? Имейте в виду, что первый вынутый альчик обратно в мешочек не кладут.

4.57. Для решения этой задачи рассмотрим состояние мешочка до и после первого извлечения.

Изначально в мешочке было:

- 5 неокрашенных альчиков;

- 6 окрашенных альчиков.

Общее количество альчиков в мешочке составляло $5 + 6 = 11$.

По условию, первый вынутый альчик оказался неокрашенным, и его не положили обратно. Это означает, что для второго извлечения количество альчиков в мешочке изменилось.

После первого извлечения в мешочке осталось:

- Неокрашенных альчиков: $5 - 1 = 4$.

- Окрашенных альчиков: 6 (их количество не изменилось).

Новое общее количество альчиков в мешочке: $4 + 6 = 10$ (или $11 - 1 = 10$).

Теперь нам нужно найти вероятность того, что второй наудачу вынутый альчик также окажется неокрашенным. Вероятность события — это отношение числа благоприятных исходов к общему числу возможных исходов.

- Число благоприятных исходов (вынуть неокрашенный альчик) равно количеству оставшихся неокрашенных альчиков, то есть 4.

- Общее число возможных исходов равно новому общему количеству альчиков в мешочке, то есть 10.

Таким образом, искомая вероятность $P$ равна:

$P = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$

Ответ: $\frac{2}{5}$.

4.58. Монета подброшена трижды. Какова вероятность того, что хотя бы один раз выпадет «герб»?

Для решения этой задачи можно использовать два подхода. Наиболее простой — найти вероятность противоположного события.

Событие, вероятность которого мы ищем, — $A = \text{«хотя бы один раз выпадет герб»}$.

Противоположное ему событие $\bar{A}$ — это «герб не выпадет ни разу», что означает «все три раза выпадет решка» (обозначим решку как Р).

Вероятность выпадения решки при одном подбрасывании монеты составляет $\frac{1}{2}$. Поскольку подбрасывания являются независимыми событиями, вероятность того, что решка выпадет три раза подряд, равна произведению вероятностей этих событий:

$P(\bar{A}) = P(\text{Р}) \times P(\text{Р}) \times P(\text{Р}) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}$

Сумма вероятностей прямого и противоположного событий равна 1, то есть $P(A) + P(\bar{A}) = 1$. Отсюда можно найти искомую вероятность:

$P(A) = 1 - P(\bar{A}) = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$

Другой способ — это прямой подсчет всех исходов. При трех подбрасываниях монеты существует $2^3 = 8$ равновероятных исходов. Обозначим герб как Г, а решку как Р:

1. ГГГ

2. ГГР

3. ГРГ

4. ГРР

5. РГГ

6. РГР

7. РРГ

8. РРР

Событию «хотя бы один раз выпадет герб» удовлетворяют все исходы, кроме последнего (РРР). Таким образом, число благоприятных исходов $m = 7$.

Вероятность события вычисляется по классической формуле $P = \frac{m}{N}$, где $m$ — число благоприятных исходов, а $N$ — общее число исходов.

$P = \frac{7}{8}$

Ответ: $\frac{7}{8}$

4.59. Известно, что бракованные детали составляют 1% продукции цеха. Сколько в среднем бракованных деталей окажется в партии из 1000 деталей, произведенных в данном цехе?

Для решения данной задачи необходимо найти среднее количество (математическое ожидание) бракованных деталей в партии.

Пусть $N$ - общее количество деталей в партии, а $p$ - вероятность того, что деталь является бракованной.

Из условия задачи нам известно:

Общее количество деталей в партии $N = 1000$.

Вероятность того, что деталь бракованная, составляет 1%. Переведем проценты в десятичную дробь:

$p = 1\% = \frac{1}{100} = 0.01$

Среднее количество бракованных деталей в партии можно найти, умножив общее количество деталей на вероятность брака для одной детали. Это соответствует нахождению математического ожидания для биномиального распределения, которое вычисляется по формуле:

$E(X) = N \cdot p$

Подставим известные значения в формулу:

$E(X) = 1000 \cdot 0.01 = 10$

Следовательно, в среднем в партии из 1000 деталей будет 10 бракованных.

Ответ: 10

4.60. Какова вероятность того, что случайно задуманное двузначное число, сумма цифр которого кратна 5, окажется простым?

Для решения задачи необходимо найти общее количество двузначных чисел, сумма цифр которых кратна 5, а затем определить, сколько из них являются простыми.

Пусть двузначное число имеет вид $10a + b$, где $a$ – цифра десятков ($a \in \{1, 2, ..., 9\}$), а $b$ – цифра единиц ($b \in \{0, 1, ..., 9\}$).

Сумма цифр $a+b$ должна быть кратна 5. Минимальное значение суммы цифр двузначного числа равно $1+0=1$, а максимальное – $9+9=18$. В этом диапазоне значения, кратные 5, это 5, 10 и 15.

Рассмотрим каждый случай:

1. Сумма цифр равна 5 ($a+b=5$).
Такими числами являются: 14, 23, 32, 41, 50. Всего 5 чисел.

2. Сумма цифр равна 10 ($a+b=10$).
Такими числами являются: 19, 28, 37, 46, 55, 64, 73, 82, 91. Всего 9 чисел.

3. Сумма цифр равна 15 ($a+b=15$).
Такими числами являются: 69, 78, 87, 96. Всего 4 числа.

Общее количество двузначных чисел, сумма цифр которых кратна 5, составляет $N = 5 + 9 + 4 = 18$. Это общее число равновозможных исходов.

Теперь из этих 18 чисел выберем те, которые являются простыми (делятся только на 1 и на самих себя). Это будут благоприятные исходы.

Проанализируем найденные числа:

• Из чисел с суммой цифр 5 (14, 23, 32, 41, 50) простыми являются 23 и 41.
• Из чисел с суммой цифр 10 (19, 28, 37, 46, 55, 64, 73, 82, 91) простыми являются 19, 37 и 73. (Число 91 составное, так как $91 = 7 \cdot 13$).
• Из чисел с суммой цифр 15 (69, 78, 87, 96) нет простых, так как все они делятся на 3 (поскольку сумма их цифр равна 15, что кратно 3).

Таким образом, количество благоприятных исходов (простых чисел) равно $m = 2 + 3 = 5$. Это числа: 19, 23, 37, 41, 73.

Вероятность $P$ того, что случайно выбранное число окажется простым, вычисляется по формуле классической вероятности:

$P = \frac{m}{N} = \frac{\text{число благоприятных исходов}}{\text{общее число исходов}}$

Подставляя наши значения, получаем:

$P = \frac{5}{18}$

Ответ: $\frac{5}{18}$