Страница 114 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.47. Упростите выражение:

1) $ \operatorname{tg} \varphi + \frac{\cos \varphi}{1 + \sin \varphi} $;

2) $ \operatorname{ctg} \varphi + \frac{\sin \varphi}{1 + \cos \varphi} $.

1) Упростим выражение $tg \varphi + \frac{\cos \varphi}{1 + \sin \varphi}$.

Сначала заменим $tg \varphi$ на $\frac{\sin \varphi}{\cos \varphi}$:

$\frac{\sin \varphi}{\cos \varphi} + \frac{\cos \varphi}{1 + \sin \varphi}$

Приведем дроби к общему знаменателю $\cos \varphi (1 + \sin \varphi)$:

$\frac{\sin \varphi (1 + \sin \varphi) + \cos \varphi \cdot \cos \varphi}{\cos \varphi (1 + \sin \varphi)}$

Раскроем скобки в числителе и сгруппируем слагаемые:

$\frac{\sin \varphi + \sin^2 \varphi + \cos^2 \varphi}{\cos \varphi (1 + \sin \varphi)}$

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 \varphi + \cos^2 \varphi = 1$. Тогда числитель примет вид:

$\sin \varphi + 1$

Подставим упрощенный числитель обратно в дробь:

$\frac{1 + \sin \varphi}{\cos \varphi (1 + \sin \varphi)}$

Сократим дробь на $(1 + \sin \varphi)$, при условии, что $1 + \sin \varphi \neq 0$:

$\frac{1}{\cos \varphi}$

Ответ: $\frac{1}{\cos \varphi}$.

2) Упростим выражение $ctg \varphi + \frac{\sin \varphi}{1 + \cos \varphi}$.

Сначала заменим $ctg \varphi$ на $\frac{\cos \varphi}{\sin \varphi}$:

$\frac{\cos \varphi}{\sin \varphi} + \frac{\sin \varphi}{1 + \cos \varphi}$

Приведем дроби к общему знаменателю $\sin \varphi (1 + \cos \varphi)$:

$\frac{\cos \varphi (1 + \cos \varphi) + \sin \varphi \cdot \sin \varphi}{\sin \varphi (1 + \cos \varphi)}$

Раскроем скобки в числителе и сгруппируем слагаемые:

$\frac{\cos \varphi + \cos^2 \varphi + \sin^2 \varphi}{\sin \varphi (1 + \cos \varphi)}$

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 \varphi + \cos^2 \varphi = 1$. Тогда числитель примет вид:

$\cos \varphi + 1$

Подставим упрощенный числитель обратно в дробь:

$\frac{1 + \cos \varphi}{\sin \varphi (1 + \cos \varphi)}$

Сократим дробь на $(1 + \cos \varphi)$, при условии, что $1 + \cos \varphi \neq 0$:

$\frac{1}{\sin \varphi}$

Ответ: $\frac{1}{\sin \varphi}$.

4.48. Найдите знаменатель геометрической прогрессии ${b_n}$:

1) $b_1 = 3, b_2 = -\frac{1}{3};$

2) $b_1 = 1, b_2 = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}.$

1) Знаменатель геометрической прогрессии $q$ определяется как отношение последующего члена к предыдущему. Формула для нахождения знаменателя: $q = \frac{b_{n+1}}{b_n}$. В данном случае, нам даны первые два члена прогрессии: $b_1 = 3$ и $b_2 = -\frac{1}{3}$. Чтобы найти знаменатель $q$, нужно разделить второй член на первый: $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-\frac{1}{3}}{3}$ $q = -\frac{1}{3} \div 3 = -\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = -\frac{1}{9}$.
Ответ: $-\frac{1}{9}$.

2) Используем ту же формулу для нахождения знаменателя геометрической прогрессии: $q = \frac{b_2}{b_1}$. В этом случае нам даны $b_1 = 1$ и $b_2 = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$. Подставим значения в формулу: $q = \frac{\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}}{1} = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$. Чтобы упростить полученное выражение, избавимся от иррациональности в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на $(\sqrt{3}-1)$: $q = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} \cdot \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}-1} = \frac{(\sqrt{3}-1)^2}{(\sqrt{3})^2 - 1^2}$. В числителе используем формулу квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$, а в знаменателе — формулу разности квадратов $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$: $q = \frac{(\sqrt{3})^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 1 + 1^2}{3 - 1} = \frac{3 - 2\sqrt{3} + 1}{2} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2}$. Теперь вынесем общий множитель 2 в числителе и сократим дробь: $q = \frac{2(2 - \sqrt{3})}{2} = 2 - \sqrt{3}$.
Ответ: $2 - \sqrt{3}$.

4.49. Постройте график функции:

1) $y = 2\sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right) + 3;$

2) $y = 3 - \cos2\left(x + \frac{\pi}{6}\right).$

1) Построение графика функции $y = 2\sin(x - \frac{\pi}{3}) + 3$

Для построения данного графика мы будем использовать метод преобразования графика основной тригонометрической функции $y = \sin(x)$.

Преобразования выполняются в следующем порядке:

1. Базовый график: Начнем с графика функции $y_1 = \sin(x)$. Это стандартная синусоида с амплитудой 1 и периодом $2\pi$.

2. Растяжение по оси OY: Умножим функцию на 2, чтобы получить $y_2 = 2\sin(x)$. Это приведет к вертикальному растяжению графика в 2 раза. Амплитуда колебаний станет равной 2, а область значений изменится на $[-2, 2]$.

3. Сдвиг по оси OX (фазовый сдвиг): Заменим $x$ на $(x - \frac{\pi}{3})$, чтобы получить $y_3 = 2\sin(x - \frac{\pi}{3})$. Это сдвинет график $y_2$ на $\frac{\pi}{3}$ единиц вправо вдоль оси абсцисс.

4. Сдвиг по оси OY: Прибавим 3 к функции, чтобы получить итоговый вид $y = 2\sin(x - \frac{\pi}{3}) + 3$. Это сдвинет график $y_3$ на 3 единицы вверх вдоль оси ординат.

Итоговые характеристики функции:

• Период: $T = 2\pi$.

• Амплитуда: $A = 2$.

• Средняя линия: $y = 3$.

• Область значений: $[3 - 2, 3 + 2] = [1, 5]$.

• Фазовый сдвиг: $\frac{\pi}{3}$ вправо.

Ключевые точки для одного периода (начиная с $x=\frac{\pi}{3}$):

• Пересечение со средней линией (рост): $(\frac{\pi}{3}, 3)$

• Максимум: $(\frac{5\pi}{6}, 5)$

• Пересечение со средней линией (убывание): $(\frac{4\pi}{3}, 3)$

• Минимум: $(\frac{11\pi}{6}, 1)$

• Конец периода: $(\frac{7\pi}{3}, 3)$

Ответ:

2) Построение графика функции $y = 3 - \cos(2(x + \frac{\pi}{6}))$

Для удобства преобразуем функцию к виду $y = -\cos(2(x + \frac{\pi}{6})) + 3$. Построение будем выполнять путем последовательных преобразований графика базовой функции $y = \cos(x)$.

Преобразования выполняются в следующем порядке:

1. Базовый график: Начнем с графика функции $y_1 = \cos(x)$. Это стандартная косинусоида с амплитудой 1, периодом $2\pi$ и максимумом в точке $x=0$.

2. Сжатие по оси OX: Умножим аргумент на 2, чтобы получить $y_2 = \cos(2x)$. Это приведет к горизонтальному сжатию графика в 2 раза. Период уменьшится до $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$.

3. Сдвиг по оси OX (фазовый сдвиг): Заменим $x$ на $(x + \frac{\pi}{6})$, чтобы получить $y_3 = \cos(2(x + \frac{\pi}{6}))$. Это сдвинет график $y_2$ на $\frac{\pi}{6}$ единиц влево.

4. Отражение по оси OX: Изменим знак функции на противоположный, получив $y_4 = -\cos(2(x + \frac{\pi}{6}))$. Это отразит график $y_3$ симметрично относительно оси абсцисс. Максимумы станут минимумами и наоборот.

5. Сдвиг по оси OY: Прибавим 3 к функции, чтобы получить итоговый вид $y = -\cos(2(x + \frac{\pi}{6})) + 3$. Это сдвинет график $y_4$ на 3 единицы вверх.

Итоговые характеристики функции:

• Период: $T = \pi$.

• Амплитуда: $A = |-1| = 1$.

• Средняя линия: $y = 3$.

• Область значений: $[3 - 1, 3 + 1] = [2, 4]$.

• Фазовый сдвиг: $\frac{\pi}{6}$ влево.

Ключевые точки для одного периода (из-за отражения, в точке фазового сдвига $x=-\frac{\pi}{6}$ будет минимум):

• Минимум: $(-\frac{\pi}{6}, 2)$

• Пересечение со средней линией (рост): $(\frac{\pi}{12}, 3)$

• Максимум: $(\frac{\pi}{3}, 4)$

• Пересечение со средней линией (убывание): $(\frac{7\pi}{12}, 3)$

• Следующий минимум: $(\frac{5\pi}{6}, 2)$

Ответ: