Страница 120 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.72. В районной олимпиаде по математике участвовали 15 учеников 10 класса, из которых 8 отличники учебы. Какова вероятность того, что первые призовые места заняли отличники учебы? Считается, что все 15 участников имеют равные возможности победить в данной олимпиаде.

Для решения данной задачи воспользуемся классическим определением вероятности, согласно которому вероятность события $P(A)$ равна отношению числа благоприятствующих ему исходов $m$ к общему числу всех равновозможных исходов $n$: $P(A) = \frac{m}{n}$.

По условию, в олимпиаде участвуют 15 учеников 10 класса, из которых 8 являются отличниками учебы. Событие $A$, вероятность которого нам нужно найти, заключается в том, что первые призовые места заняли отличники. В условии не указано точное количество призовых мест. Так как используется множественное число ("места"), а на олимпиадах обычно присуждают три призовых места (первое, второе и третье), будем исходить из этого стандартного предположения.

Найдем общее число исходов $n$. Это количество способов, которыми можно распределить три призовых места среди 15 участников. Поскольку важен порядок, в котором распределяются места (кто занял 1-е, 2-е и 3-е), мы используем формулу для числа размещений из $N$ по $k$: $A_N^k = \frac{N!}{(N-k)!}$.В нашем случае $N=15$ и $k=3$:$n = A_{15}^3 = \frac{15!}{(15-3)!} = \frac{15!}{12!} = 15 \times 14 \times 13 = 2730$.Таким образом, существует 2730 различных вариантов распределения трех призовых мест среди 15 учеников.

Теперь найдем число благоприятствующих исходов $m$. Это исходы, при которых все три призовых места достаются отличникам. Это количество способов распределить 3 призовых места среди 8 отличников.В этом случае $N=8$ и $k=3$:$m = A_8^3 = \frac{8!}{(8-3)!} = \frac{8!}{5!} = 8 \times 7 \times 6 = 336$.Таким образом, существует 336 вариантов, при которых победителями становятся только отличники.

Теперь можем вычислить искомую вероятность, разделив число благоприятных исходов на общее число исходов:$P(A) = \frac{m}{n} = \frac{336}{2730}$.Сократим полученную дробь для получения окончательного ответа:$P(A) = \frac{336}{2730} = \frac{8 \times 7 \times 6}{15 \times 14 \times 13} = \frac{8 \times 7 \times 6}{15 \times (2 \times 7) \times 13} = \frac{8 \times 6}{15 \times 2 \times 13} = \frac{4 \times 6}{15 \times 13} = \frac{24}{195}$.Разделим числитель и знаменатель на 3:$P(A) = \frac{24 \div 3}{195 \div 3} = \frac{8}{65}$.

Эту же задачу можно решить и через последовательное вычисление вероятностей (условная вероятность).Вероятность того, что первое место займет отличник, составляет $\frac{8}{15}$.После того как один отличник занял первое место, осталось 14 участников, из которых 7 — отличники. Вероятность того, что второе место также займет отличник, равна $\frac{7}{14} = \frac{1}{2}$.Затем останется 13 участников, из которых 6 — отличники. Вероятность того, что и третье место займет отличник, равна $\frac{6}{13}$.Итоговая вероятность является произведением этих вероятностей:$P(A) = \frac{8}{15} \times \frac{7}{14} \times \frac{6}{13} = \frac{8}{15} \times \frac{1}{2} \times \frac{6}{13} = \frac{48}{390} = \frac{8}{65}$.Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $\frac{8}{65}$

4.73. Вероятность того, что мишень будет поражена хотя бы один раз при четырех выстрелах, равна 0,9984. Какова вероятность поражения мишени при одном выстреле?

Пусть $p$ – это искомая вероятность поражения мишени при одном выстреле. Тогда вероятность промаха при одном выстреле (событие, противоположное поражению) равна $q = 1 - p$. Предполагается, что результаты выстрелов являются независимыми событиями, и вероятность поражения для каждого выстрела одинакова.

Событие "мишень поражена хотя бы один раз при четырех выстрелах" является противоположным событию "мишень не поражена ни разу за четыре выстрела" (т.е. все четыре выстрела были промахами). Сумма вероятностей противоположных событий равна 1.

Найдем вероятность того, что все четыре выстрела будут промахами. Поскольку выстрелы независимы, вероятность этого составного события равна произведению вероятностей промаха для каждого выстрела:

$P(\text{4 промаха}) = q \cdot q \cdot q \cdot q = q^4$

Вероятность того, что мишень будет поражена хотя бы один раз, равна:

$P(\text{хотя бы одно поражение}) = 1 - P(\text{4 промаха}) = 1 - q^4$

По условию задачи, эта вероятность равна 0,9984. Составим и решим уравнение:

$1 - q^4 = 0,9984$

Выразим $q^4$:

$q^4 = 1 - 0,9984$

$q^4 = 0,0016$

Теперь найдем $q$, извлекая корень четвертой степени из обеих частей уравнения. Так как $q$ — это вероятность, она должна быть неотрицательной.

$q = \sqrt[4]{0,0016} = \sqrt[4]{16 \cdot 10^{-4}} = \sqrt[4]{2^4 \cdot (10^{-1})^4} = 2 \cdot 10^{-1} = 0,2$

Итак, вероятность промаха при одном выстреле равна $q = 0,2$.

Теперь найдем искомую вероятность поражения мишени при одном выстреле $p$:

$p = 1 - q = 1 - 0,2 = 0,8$

Ответ: 0,8.

4.74. Даны события $A$, $B$ и $C$. Разложите события на сумму попарно несовместных событий:

1) $A + B$;

2) $A + B + C$.

Задача состоит в том, чтобы представить сумму событий (объединение) в виде суммы попарно несовместных (взаимно исключающих) событий. Два события называются несовместными, если их одновременное наступление невозможно, то есть их пересечение является невозможным событием ($\emptyset$). В алгебре событий пересечение обозначается произведением событий (например, $AB$), а объединение — суммой (например, $A+B$). Событие, противоположное событию $A$, обозначается $\bar{A}$.

1) A + B

Событие $A + B$ означает, что произошло хотя бы одно из событий $A$ или $B$. Чтобы разложить это событие на сумму несовместных, мы можем взять первое событие $A$ и прибавить к нему ту часть события $B$, которая не входит в $A$. Эта часть соответствует наступлению события $B$ при условии, что событие $A$ не наступило, и записывается как $B\bar{A}$.

Таким образом, мы представляем сумму $A + B$ в виде суммы двух событий: $A$ и $B\bar{A}$.

Проверим, что эти события несовместны. Их пересечение (одновременное наступление) — это событие $A \cdot (B\bar{A}) = AB\bar{A}$. Так как событие $A$ и противоположное ему событие $\bar{A}$ не могут произойти одновременно ($A\bar{A} = \emptyset$), их пересечение является невозможным событием. Значит, события $A$ и $B\bar{A}$ несовместны.

Сумма этих несовместных событий $A + B\bar{A}$ эквивалентна событию $A+B$, так как она охватывает все случаи, когда наступает $A$ (независимо от $B$), и все случаи, когда наступает $B$, но не наступает $A$. Вместе это покрывает все исходы, входящие в $A+B$.

Визуально это можно представить с помощью диаграммы Венна. Событие $A$ представлено синей областью, а событие $B\bar{A}$ — зелёной. Вместе они составляют всё объединение $A+B$.

Замечание: симметрично можно было бы получить другое разложение: $A+B = B + A\bar{B}$.

Ответ: $A + B = A + B\bar{A}$

2) A + B + C

Для разложения события $A+B+C$ применим тот же последовательный подход. Событие $A+B+C$ означает, что произошло хотя бы одно из событий $A$, $B$ или $C$.

1. Начинаем с события $A$.

2. Добавляем ту часть события $B$, которая еще не была учтена, то есть ту, где $A$ не происходит. Это событие $B\bar{A}$.

3. Добавляем ту часть события $C$, которая еще не была учтена, то есть ту, где не происходит ни $A$, ни $B$. Это событие "C и не A и не B", которое записывается как $C\bar{A}\bar{B}$.

Таким образом, разложение имеет вид: $A + B\bar{A} + C\bar{A}\bar{B}$.

Проверим попарную несовместность этих трех событий:

• $A$ и $B\bar{A}$: Их пересечение $A(B\bar{A}) = AB\bar{A} = \emptyset$ из-за сомножителя $A\bar{A}$.

• $A$ и $C\bar{A}\bar{B}$: Их пересечение $A(C\bar{A}\bar{B}) = AC\bar{A}\bar{B} = \emptyset$ из-за сомножителя $A\bar{A}$.

• $B\bar{A}$ и $C\bar{A}\bar{B}$: Их пересечение $(B\bar{A})(C\bar{A}\bar{B}) = BC\bar{A}\bar{A}\bar{B} = BC\bar{A}\bar{B} = \emptyset$ из-за сомножителя $B\bar{B}$.

Все три события попарно несовместны. Их сумма $A + B\bar{A} + C\bar{A}\bar{B}$ покрывает все возможные исходы, при которых наступает хотя бы одно из событий $A$, $B$ или $C$, что эквивалентно $A+B+C$.

На диаграмме Венна ниже показаны три несовместных события, составляющие сумму $A+B+C$: событие $A$ (синяя область), событие $B\bar{A}$ (зеленая область) и событие $C\bar{A}\bar{B}$ (красная область).

Замечание: используя законы де Моргана, можно записать $C\bar{A}\bar{B} = C\overline{(A+B)}$. Тогда разложение примет вид $A + B\bar{A} + C\overline{(A+B)}$.

Ответ: $A + B + C = A + B\bar{A} + C\bar{A}\bar{B}$

4.75. В лифт 9-этажного дома вошли 5 пассажиров. Считая, что каждый из них может выйти с равной возможностью на любом этаже дома, найдите вероятность того, что:

1) все выйдут на одном этаже;

2) все выйдут на 7 этаже;

3) все выйдут на разных этажах.

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности: $P = \frac{m}{N}$, где $N$ — общее число равновероятных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию.

По условию, в лифт 9-этажного дома вошли 5 пассажиров. Будем исходить из стандартного предположения, что вход в лифт происходит на первом этаже, а выход возможен на любом из этажей со 2-го по 9-й. Таким образом, для каждого из 5 пассажиров существует $n = 8$ равновероятных вариантов выбора этажа.

Общее число всех возможных комбинаций выхода пассажиров — это число размещений с повторениями из 8 элементов (этажей) по 5 (пассажирам). Оно равно:
$N = n^k = 8^5 = 32768$.

1) все выйдут на одном этаже

Событие A состоит в том, что все 5 пассажиров выйдут на одном и том же этаже. Благоприятный исход — это когда все выходят на 2-м, или все на 3-м, ..., или все на 9-м этаже. Всего таких этажей, на которых могут выйти все вместе, 8.
Следовательно, число благоприятствующих исходов $m_1 = 8$.
Вероятность этого события:
$P(A) = \frac{m_1}{N} = \frac{8}{32768} = \frac{8}{8^5} = \frac{1}{8^4} = \frac{1}{4096}$.
Ответ: $\frac{1}{4096}$.

2) все выйдут на 7 этаже

Событие B заключается в том, что все 5 пассажиров выйдут на 7-м этаже. Это один-единственный исход, при котором выбор каждого из 5 пассажиров — 7-й этаж.
Число благоприятствующих исходов в этом случае $m_2 = 1$.
Вероятность данного события:
$P(B) = \frac{m_2}{N} = \frac{1}{8^5} = \frac{1}{32768}$.
Ответ: $\frac{1}{32768}$.

3) все выйдут на разных этажах

Событие C — все 5 пассажиров выходят на разных этажах. Для этого необходимо, чтобы этажи, выбранные пассажирами, не совпадали.
Число благоприятствующих исходов $m_3$ — это количество способов выбрать 5 различных этажей из 8 доступных и распределить их между 5-ю пассажирами (важен порядок, так как пассажиры различимы). Это число размещений без повторений из 8 по 5:
$m_3 = A_8^5 = \frac{8!}{(8-5)!} = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 6720$.
Вероятность этого события:
$P(C) = \frac{m_3}{N} = \frac{6720}{32768}$.
Сократим полученную дробь:
$P(C) = \frac{6720 \div 64}{32768 \div 64} = \frac{105}{512}$.
Ответ: $\frac{105}{512}$.

4.76. Шесть учеников случайно расселись за круглым столом. Какова вероятность того, что определенные 2 подруги сядут рядом?

Для решения этой задачи по теории вероятностей можно использовать два основных подхода. Рассмотрим оба.

Способ 1: Комбинаторный подход (с использованием перестановок)

Этот метод основан на классическом определении вероятности: отношение числа благоприятных исходов к общему числу всех равновероятных исходов.

1. Сначала найдем общее число $N$ всех возможных способов рассадить 6 учеников за круглым столом. В отличие от рассадки в ряд, для круглого стола число различных перестановок для $n$ объектов равно $(n-1)!$. Это связано с тем, что рассадки, которые можно получить друг из друга поворотом стола, считаются одинаковыми.

Для $n=6$ учеников общее число уникальных рассадок составляет:

$N = (6 - 1)! = 5! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 = 120$.

2. Теперь найдем число $M$ благоприятных исходов. Благоприятный исход — это рассадка, при которой две определенные подруги сидят рядом. Чтобы посчитать такие рассадки, представим этих двух подруг как единый неделимый объект. Тогда нам нужно рассадить не 6, а 5 "объектов" (этот единый объект и оставшиеся 4 ученика).

Число способов рассадить 5 таких объектов за круглым столом равно $(5 - 1)! = 4! = 24$.

Однако внутри нашего "единого объекта" две подруги могут поменяться местами (первая слева, вторая справа, и наоборот). Это дает $2! = 2$ варианта для каждой из 24 рассадок "объектов".

Следовательно, общее число благоприятных исходов $M$ равно:

$M = (5 - 1)! \times 2! = 4! \times 2 = 24 \times 2 = 48$.

3. Наконец, вычислим искомую вероятность $P$ по формуле $P = \frac{M}{N}$:

$P = \frac{48}{120} = \frac{2 \times 24}{5 \times 24} = \frac{2}{5}$.

Ответ: $\frac{2}{5}$.

Способ 2: Метод фиксации одного элемента

Этот способ часто оказывается проще и нагляднее для задач с рассадкой за круглым столом.

1. Зафиксируем одну из подруг (назовем ее А) на произвольном месте. Поскольку все места за круглым столом изначально равноправны, этот выбор не влияет на итоговую вероятность.

2. После того как подруга А заняла свое место, для остальных учеников, включая ее подругу Б, осталось $6 - 1 = 5$ свободных мест.

3. Чтобы подруги сидели рядом, подруга Б должна занять одно из двух мест, непосредственно примыкающих к месту подруги А, — одно слева и одно справа от нее.

4. Таким образом, из 5 оставшихся свободных мест только 2 являются благоприятными для подруги Б. Вероятность того, что подруга Б случайным образом займет одно из этих двух мест, равна:

$P = \frac{\text{число благоприятных мест}}{\text{общее число свободных мест}} = \frac{2}{5}$.

Ответ: $\frac{2}{5}$.

4.77. На шахматной доске случайно расставлены 2 ладьи разных цветов. Какова вероятность того, что эти ладьи не «бьют» друг друга?

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности: $P = \frac{M}{N}$, где $N$ — общее число всех возможных элементарных исходов, а $M$ — число элементарных исходов, благоприятствующих событию.

Сначала определим общее число способов $N$ разместить две ладьи разных цветов на шахматной доске. Шахматная доска состоит из 64 клеток. Поскольку ладьи разных цветов (например, белая и черная), они являются различимыми объектами.
Первую ладью можно поставить на любую из 64 клеток. После этого для второй ладьи остается 63 свободных клетки. Следовательно, общее число способов расставить две различные ладьи на доске равно числу размещений из 64 по 2:
$N = A_{64}^2 = 64 \times (64-1) = 64 \times 63 = 4032$.

Теперь определим число благоприятных исходов $M$. Благоприятным исходом является такое расположение ладей, при котором они не «бьют» друг друга. Ладьи бьют друг друга, если находятся на одной горизонтали (строке) или одной вертикали (столбце). Значит, для благоприятного исхода они должны стоять в разных строках и разных столбцах.
Рассчитаем количество таких позиций.
Первую ладью можно поставить на любую из 64 клеток.
После размещения первой ладьи, она занимает одну строку и один столбец. На доске 8 строк и 8 столбцов. Чтобы вторая ладья не оказалась под боем, ее нужно поставить на одну из клеток, не принадлежащих строке или столбцу первой ладьи. Количество таких «безопасных» клеток для второй ладьи равно $(8-1) \times (8-1) = 7 \times 7 = 49$.
Таким образом, для каждого из 64 возможных положений первой ладьи существует 49 положений для второй ладьи, при которых они не будут бить друг друга. Число благоприятных исходов составляет:
$M = 64 \times 49 = 3136$.

Теперь мы можем вычислить искомую вероятность:
$P = \frac{M}{N} = \frac{64 \times 49}{64 \times 63} = \frac{49}{63}$.
Сокращая дробь на 7, получаем:
$P = \frac{7}{9}$.

Ответ: $\frac{7}{9}$.

4.78. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,6. Выстрел производится до тех пор, пока мишень не будет поражена. Какова вероятность того, что количество выстрелов по мишени не превысит трех?

Пусть $p$ — это вероятность поражения мишени при одном выстреле. По условию задачи, $p = 0,6$.

Тогда вероятность промаха при одном выстреле, которую мы обозначим как $q$, является событием, противоположным попаданию, и ее вероятность равна:

$q = 1 - p = 1 - 0,6 = 0,4$.

Событие «количество выстрелов по мишени не превысит трех» означает, что мишень будет поражена либо с первого, либо со второго, либо с третьего выстрела. Эти три исхода являются несовместными, поэтому искомую вероятность можно найти как сумму их вероятностей.

Рассмотрим каждый возможный случай:

1. Мишень поражена с первого выстрела. Вероятность этого события $P_1$ равна $p$.

$P_1 = p = 0,6$.

2. Мишень поражена со второго выстрела. Это означает, что первый выстрел был промахом (вероятность $q$), а второй — попаданием (вероятность $p$). Так как выстрелы являются независимыми событиями, вероятность этого исхода $P_2$ равна произведению их вероятностей:

$P_2 = q \cdot p = 0,4 \cdot 0,6 = 0,24$.

3. Мишень поражена с третьего выстрела. Это означает, что первые два выстрела были промахами (вероятность $q$ для каждого), а третий — попаданием (вероятность $p$). Вероятность этого исхода $P_3$ равна:

$P_3 = q \cdot q \cdot p = q^2 \cdot p = (0,4)^2 \cdot 0,6 = 0,16 \cdot 0,6 = 0,096$.

Искомая вероятность $P$ равна сумме вероятностей этих трех несовместных событий:

$P = P_1 + P_2 + P_3 = 0,6 + 0,24 + 0,096 = 0,936$.

Альтернативный способ решения:

Можно найти вероятность противоположного события A', которое заключается в том, что для поражения мишени потребовалось более трех выстрелов. Это означает, что первые три выстрела были промахами. Вероятность этого события $P(A')$ равна:

$P(A') = q \cdot q \cdot q = q^3 = (0,4)^3 = 0,064$.

Искомая вероятность $P$ является дополнением вероятности $P(A')$ до единицы:

$P = 1 - P(A') = 1 - 0,064 = 0,936$.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 0,936

4.79. Двое играют, по очереди подбрасывая монету. По условию игры выигрывает тот, чья монета первой выпадет гербовой стороной. Определите вероятность выигрыша каждого игрока.

Обозначим игроков как Игрок 1 (тот, кто ходит первым) и Игрок 2. Пусть событие "выпал герб" обозначается как Г, а "выпала решка" — как Р. Предполагается, что монета идеальная, поэтому вероятности этих событий равны:

$P(Г) = p = \frac{1}{2}$

$P(Р) = q = 1 - p = \frac{1}{2}$

Игра заканчивается, как только у одного из игроков выпадает герб.

Вероятность выигрыша первого игрока

Первый игрок выигрывает, если герб выпадает на его броске. Это может произойти на его первом, втором, третьем и так далее броске. Рассмотрим эти случаи:

1. Игрок 1 выигрывает на 1-м ходу (первый бросок в игре). Для этого он должен сразу выбросить герб (Г). Вероятность этого события: $P_1(1) = P(Г) = \frac{1}{2}$.

2. Игрок 1 выигрывает на 3-м ходу (его второй бросок). Для этого первый игрок должен выбросить решку (Р), второй игрок тоже должен выбросить решку (Р), и только после этого первый игрок выбрасывает герб (Г). Последовательность исходов: РРГ. Вероятность: $P_1(3) = P(Р) \cdot P(Р) \cdot P(Г) = q \cdot q \cdot p = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$.

3. Игрок 1 выигрывает на 5-м ходу (его третий бросок). Для этого первые четыре броска должны быть решками, а пятый — гербом. Последовательность: РРРРГ. Вероятность: $P_1(5) = q^4 \cdot p = (\frac{1}{2})^5 = \frac{1}{32}$.

И так далее. Вероятность выигрыша первого игрока на его k-м броске (что соответствует $2k-1$ броску в игре) равна $(\frac{1}{2})^{2k-1}$.

Полная вероятность выигрыша первого игрока, $P_1$, является суммой вероятностей всех этих несовместных событий:

$P_1 = \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^3 + (\frac{1}{2})^5 + \dots$

Эта сумма представляет собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, у которой первый член $a_1 = \frac{1}{2}$ и знаменатель $r = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$.

Сумма такой прогрессии вычисляется по формуле $S = \frac{a_1}{1 - r}$.

$P_1 = \frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{4}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} = \frac{2}{3}$.

Ответ: Вероятность выигрыша первого игрока равна $\frac{2}{3}$.

Вероятность выигрыша второго игрока

Второй игрок выигрывает, если герб выпадает на его броске. Рассмотрим его выигрышные сценарии:

1. Игрок 2 выигрывает на 2-м ходу (его первый бросок). Для этого Игрок 1 должен выбросить решку (Р), а Игрок 2 — герб (Г). Последовательность: РГ. Вероятность: $P_2(2) = P(Р) \cdot P(Г) = q \cdot p = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$.

2. Игрок 2 выигрывает на 4-м ходу (его второй бросок). Для этого первые три броска должны быть решками, а четвертый — гербом. Последовательность: РРРГ. Вероятность: $P_2(4) = q^3 \cdot p = (\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{16}$.

3. Игрок 2 выигрывает на 6-м ходу (его третий бросок). Последовательность: РРРРРГ. Вероятность: $P_2(6) = q^5 \cdot p = (\frac{1}{2})^6 = \frac{1}{64}$.

И так далее. Вероятность выигрыша второго игрока на его k-м броске (что соответствует $2k$ броску в игре) равна $(\frac{1}{2})^{2k}$.

Полная вероятность выигрыша второго игрока, $P_2$, является суммой вероятностей:

$P_2 = (\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^4 + (\frac{1}{2})^6 + \dots$

Это также бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, у которой первый член $b_1 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$ и знаменатель $r = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$.

$P_2 = \frac{\frac{1}{4}}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{4}} = \frac{1}{3}$.

Для проверки можно заметить, что кто-то из игроков обязательно выиграет (вероятность бесконечной игры равна нулю), поэтому сумма их вероятностей выигрыша должна быть равна 1:

$P_1 + P_2 = \frac{2}{3} + \frac{1}{3} = 1$.

Ответ: Вероятность выигрыша второго игрока равна $\frac{1}{3}$.

Альтернативный метод решения

Пусть $P$ — вероятность выигрыша для игрока, чья очередь бросать монету. Он может выиграть на этом же ходу, выбросив герб (вероятность $p=\frac{1}{2}$). Либо он может выбросить решку (вероятность $q=\frac{1}{2}$), и тогда право хода переходит к сопернику. В этом случае соперник оказывается в позиции "того, кто бросает следующим", и его вероятность выиграть теперь равна $P$. Следовательно, вероятность проигрыша первого игрока (и выигрыша второго) равна $P$, а вероятность выигрыша первого игрока (после того как он выбросил решку) равна $1-P$.

Таким образом, можно составить рекуррентное соотношение для $P$:

$P = (\text{вероятность выиграть сразу}) + (\text{вероятность передать ход}) \cdot (\text{вероятность выиграть позже})$

$P = p \cdot 1 + q \cdot (1 - P)$

Подставим значения $p = \frac{1}{2}$ и $q = \frac{1}{2}$:

$P = \frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot (1 - P)$

$P = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2}P$

$P + \frac{1}{2}P = 1$

$\frac{3}{2}P = 1$

$P = \frac{2}{3}$

Это вероятность выигрыша для того игрока, кто бросает первым. То есть, $P_1 = P = \frac{2}{3}$.

Соответственно, вероятность выигрыша второго игрока $P_2$ — это вероятность того, что первый не выиграет:

$P_2 = 1 - P_1 = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.

Результаты, полученные обоими методами, совпадают.

4.80. Предыдущую задачу решите, считая, что в игре участвуют три игрока.

Поскольку условие задачи ссылается на предыдущую, которую мы не знаем, будем исходить из наиболее распространенного варианта такой задачи. Обычно речь идет об игре, в которой несколько участников поочередно выполняют некоторое действие до первого успеха (например, бросают монету до выпадения орла). Тот, кто первым добился успеха, выигрывает. В предыдущей задаче, вероятно, рассматривался случай с двумя игроками. В данной задаче мы решим ее для трех игроков.

Пусть в игре участвуют три игрока, которые ходят по очереди. Пусть вероятность успеха в одной попытке (например, выпадение орла) равна $p$, и эта вероятность одинакова для всех игроков. Тогда вероятность неудачи в одной попытке равна $q = 1-p$.

Вероятность выигрыша для первого игрока

Первый игрок (назовем его Игрок 1) выигрывает, если ему выпадает успех на его ходу. Это может произойти:

• На 1-м ходу (его первая попытка). Вероятность этого события равна $p$.
• На 4-м ходу (его вторая попытка). Для этого первые три хода (Игрока 1, Игрока 2 и Игрока 3) должны быть неудачными. Вероятность этого $q \cdot q \cdot q \cdot p = q^3 p$.
• На 7-м ходу (его третья попытка). Для этого первые шесть ходов должны быть неудачными. Вероятность этого $q^6 p$.

И так далее. Полная вероятность выигрыша для первого игрока $P_1$ — это сумма вероятностей этих взаимоисключающих событий: $P_1 = p + q^3 p + q^6 p + \dots$ Это сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии, где первый член $a_1 = p$, а знаменатель $r = q^3$. Сумма вычисляется по формуле $S = \frac{a_1}{1-r}$. $P_1 = \frac{p}{1-q^3}$

Вероятность выигрыша для второго игрока

Второй игрок (Игрок 2) выигрывает, если ему выпадает успех на его ходу. Это может произойти:

• На 2-м ходу. Для этого Игрок 1 должен потерпеть неудачу, а Игрок 2 — добиться успеха. Вероятность этого $q \cdot p = qp$.
• На 5-м ходу. Для этого первые четыре хода должны быть неудачными. Вероятность этого $q^4 p$.
• На 8-м ходу. Вероятность $q^7 p$.

Полная вероятность выигрыша для второго игрока $P_2$: $P_2 = qp + q^4 p + q^7 p + \dots$ Это также сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом $a_1 = qp$ и знаменателем $r = q^3$. $P_2 = \frac{qp}{1-q^3}$

Вероятность выигрыша для третьего игрока

Третий игрок (Игрок 3) выигрывает, если ему выпадает успех на его ходу. Это может произойти:

• На 3-м ходу. Для этого Игрок 1 и Игрок 2 должны потерпеть неудачу. Вероятность этого $q \cdot q \cdot p = q^2 p$.
• На 6-м ходу. Вероятность $q^5 p$.
• На 9-м ходу. Вероятность $q^8 p$.

Полная вероятность выигрыша для третьего игрока $P_3$: $P_3 = q^2 p + q^5 p + q^8 p + \dots$ Это геометрическая прогрессия с первым членом $a_1 = q^2 p$ и знаменателем $r = q^3$. $P_3 = \frac{q^2 p}{1-q^3}$

Для получения численного ответа необходимо знать значение вероятности успеха $p$. Предположим, что предыдущая задача описывала игру с подбрасыванием симметричной монеты, где успех — это выпадение «орла». В этом случае вероятность успеха $p = 1/2$, а вероятность неудачи $q = 1/2$.

Подставим эти значения в полученные формулы:

Вероятность выигрыша для первого игрока: $P_1 = \frac{1/2}{1-(1/2)^3} = \frac{1/2}{1-1/8} = \frac{1/2}{7/8} = \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{7} = \frac{4}{7}$

Вероятность выигрыша для второго игрока: $P_2 = \frac{(1/2) \cdot (1/2)}{1-(1/2)^3} = \frac{1/4}{7/8} = \frac{1}{4} \cdot \frac{8}{7} = \frac{2}{7}$

Вероятность выигрыша для третьего игрока: $P_3 = \frac{(1/2)^2 \cdot (1/2)}{1-(1/2)^3} = \frac{1/8}{7/8} = \frac{1}{7}$

Проверка: сумма вероятностей должна быть равна 1. $P_1 + P_2 + P_3 = \frac{4}{7} + \frac{2}{7} + \frac{1}{7} = \frac{7}{7} = 1$. Расчеты верны.

Ответ: Вероятности выигрыша для трех игроков, зависящие от вероятности успеха $p$ в одной попытке ($q=1-p$), равны:

• для первого игрока: $P_1 = \frac{p}{1-q^3}$
• для второго игрока: $P_2 = \frac{qp}{1-q^3}$
• для третьего игрока: $P_3 = \frac{q^2 p}{1-q^3}$

• для первого игрока: $\frac{4}{7}$
• для второго игрока: $\frac{2}{7}$
• для третьего игрока: $\frac{1}{7}$

4.81*. Из чисел $ \{1, 2, \dots, n\} $ случайно выбрали число $ m $. Какова вероятность того, что при делении $ m $ на заданное натуральное число $ q $ в остатке останется число $ r $? Найдите эту вероятность при $ n \to \infty $.

Пусть $A$ — событие, состоящее в том, что случайно выбранное из множества $\{1, 2, ..., n\}$ число $m$ при делении на заданное натуральное число $q$ дает в остатке число $r$. Вероятность этого события вычисляется по классической формуле $P(A) = \frac{N_{благопр}}{N_{общ}}$, где $N_{общ}$ — общее число элементарных исходов, а $N_{благопр}$ — число исходов, благоприятствующих событию $A$.

Какова вероятность того, что при делении $m$ на заданное натуральное число $q$ в остатке останется число $r$

Общее число элементарных исходов равно количеству чисел в множестве $\{1, 2, ..., n\}$, то есть $N_{общ} = n$.

Число $r$ является остатком от деления на $q$, поэтому оно должно удовлетворять условию $0 \le r < q$.

Нам необходимо найти количество чисел $m$ (благоприятствующих исходов, $N_{благопр}$) в множестве $\{1, 2, ..., n\}$ таких, что $m$ при делении на $q$ дает в остатке $r$. Такие числа имеют вид $m = k \cdot q + r$, где $k$ — целое неотрицательное число.

Чтобы найти $N_{благопр}$, представим число $n$ через его неполное частное и остаток от деления на $q$: $n = a \cdot q + b$, где $a = \lfloor \frac{n}{q} \rfloor$ и $b = n \pmod q$, причем $0 \le b < q$.

Рассмотрим числа от $1$ до $n$. В каждом полном блоке из $q$ последовательных чисел (например, $1, ..., q$ или $q+1, ..., 2q$) встречается ровно по одному числу, дающему каждый из возможных остатков $0, 1, ..., q-1$. В диапазоне от $1$ до $a \cdot q$ содержится ровно $a$ таких полных блоков. Следовательно, в этом диапазоне для каждого остатка $r$ существует ровно $a$ чисел.

Оставшиеся числа — это $a \cdot q + 1, a \cdot q + 2, ..., a \cdot q + b$. Их остатки от деления на $q$ равны соответственно $1, 2, ..., b$.

Таким образом, общее количество чисел с искомым остатком $r$ зависит от того, попадает ли $r$ в диапазон от $1$ до $b$:

• Если $1 \le r \le b$, то к $a$ числам из диапазона $[1, a \cdot q]$ добавляется еще одно число ($a \cdot q + r$) из оставшихся. В этом случае $N_{благопр} = a + 1 = \lfloor \frac{n}{q} \rfloor + 1$.

• Если $r > b$ (то есть $b < r < q$) или если $r = 0$, то среди оставшихся чисел нет таких, которые давали бы остаток $r$. В этом случае $N_{благопр} = a = \lfloor \frac{n}{q} \rfloor$.

Следовательно, искомая вероятность $P_n(r) = \frac{N_{благопр}}{n}$ равна:

• $\frac{\lfloor n/q \rfloor + 1}{n}$, если $1 \le r \le n \pmod q$.

• $\frac{\lfloor n/q \rfloor}{n}$, если $r=0$ или $n \pmod q < r < q$.

Ответ: Вероятность зависит от остатка от деления $n$ на $q$. Пусть $b = n \pmod q$. Если $1 \le r \le b$, то вероятность равна $\frac{\lfloor n/q \rfloor + 1}{n}$. Если $r=0$ или $b < r < q$, то вероятность равна $\frac{\lfloor n/q \rfloor}{n}$.

Найдите эту вероятность при $n \to \infty$

Найдем предел $\lim_{n \to \infty} P_n(r)$. Для этого воспользуемся определением функции "пол" (целая часть), из которого следует неравенство $x - 1 < \lfloor x \rfloor \le x$. Применительно к нашему случаю ($x = n/q$): $\frac{n}{q} - 1 < \lfloor \frac{n}{q} \rfloor \le \frac{n}{q}$.

Рассмотрим оба случая для $P_n(r)$.

1. Если $P_n(r) = \frac{\lfloor n/q \rfloor + 1}{n}$. Используя неравенство для $\lfloor n/q \rfloor$, получаем: $\frac{(\frac{n}{q} - 1) + 1}{n} < P_n(r) \le \frac{\frac{n}{q} + 1}{n}$, что упрощается до $\frac{1}{q} < P_n(r) \le \frac{1}{q} + \frac{1}{n}$. Поскольку $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{q} = \frac{1}{q}$ и $\lim_{n \to \infty} (\frac{1}{q} + \frac{1}{n}) = \frac{1}{q}$, по теореме о зажатой последовательности (о двух милиционерах) $\lim_{n \to \infty} P_n(r) = \frac{1}{q}$.

2. Если $P_n(r) = \frac{\lfloor n/q \rfloor}{n}$. Аналогично, используя неравенство, получаем: $\frac{\frac{n}{q} - 1}{n} < P_n(r) \le \frac{\frac{n}{q}}{n}$, что упрощается до $\frac{1}{q} - \frac{1}{n} < P_n(r) \le \frac{1}{q}$. Поскольку $\lim_{n \to \infty} (\frac{1}{q} - \frac{1}{n}) = \frac{1}{q}$ и $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{q} = \frac{1}{q}$, по той же теореме $\lim_{n \to \infty} P_n(r) = \frac{1}{q}$.

Таким образом, в обоих случаях предел вероятности при $n \to \infty$ одинаков.

Ответ: $\frac{1}{q}$.

4.82. Брошены три игральные кости. Через $n$ обозначим сумму выпавших очков. Что вероятнее: $n = 11$ или $n = 12$?

Для решения задачи необходимо определить, для какого из двух событий — «сумма очков равна 11» или «сумма очков равна 12» — существует большее количество благоприятных исходов. Общее число всех возможных исходов при бросании трех игральных костей составляет $6 \times 6 \times 6 = 6^3 = 216$, так как для каждой из трех костей есть 6 равновероятных вариантов.

n = 11
Найдем все комбинации (тройки) чисел от 1 до 6, которые в сумме дают 11. Поскольку кости можно считать различными, порядок выпавших чисел имеет значение. Перечислим все уникальные наборы чисел (разбиения) и для каждого найдем количество возможных перестановок.
- Комбинация (6, 4, 1): все числа различны, количество исходов (перестановок) равно $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$.
- Комбинация (6, 3, 2): все числа различны, количество исходов равно $3! = 6$.
- Комбинация (5, 5, 1): два числа одинаковы, количество исходов равно $\frac{3!}{2!} = 3$.
- Комбинация (5, 4, 2): все числа различны, количество исходов равно $3! = 6$.
- Комбинация (5, 3, 3): два числа одинаковы, количество исходов равно $\frac{3!}{2!} = 3$.
- Комбинация (4, 4, 3): два числа одинаковы, количество исходов равно $\frac{3!}{2!} = 3$.
Общее число благоприятных исходов для суммы 11 составляет: $6 + 6 + 3 + 6 + 3 + 3 = 27$.
Вероятность этого события: $P(n=11) = \frac{27}{216}$.

n = 12
Аналогичным образом найдем число благоприятных исходов для суммы, равной 12.
- Комбинация (6, 5, 1): все числа различны, количество исходов равно $3! = 6$.
- Комбинация (6, 4, 2): все числа различны, количество исходов равно $3! = 6$.
- Комбинация (6, 3, 3): два числа одинаковы, количество исходов равно $\frac{3!}{2!} = 3$.
- Комбинация (5, 5, 2): два числа одинаковы, количество исходов равно $\frac{3!}{2!} = 3$.
- Комбинация (5, 4, 3): все числа различны, количество исходов равно $3! = 6$.
- Комбинация (4, 4, 4): все числа одинаковы, количество исходов равно $\frac{3!}{3!} = 1$.
Общее число благоприятных исходов для суммы 12 составляет: $6 + 6 + 3 + 3 + 6 + 1 = 25$.
Вероятность этого события: $P(n=12) = \frac{25}{216}$.

Сравнивая количество благоприятных исходов, мы видим, что для суммы 11 их 27, а для суммы 12 — 25. Поскольку $27 > 25$, событие, при котором сумма очков равна 11, является более вероятным, чем событие, при котором сумма равна 12.
Ответ: Вероятнее, что сумма выпавших очков будет равна 11.

4.83. Вычислите:

1) $ \cos 70^{\circ} \cdot \cos 50^{\circ} \cdot \cos 10^{\circ} $;

2) $ \sin 15^{\circ} - \sin 75^{\circ} $.

1) Для вычисления выражения $\cos 70^\circ \cdot \cos 50^\circ \cdot \cos 10^\circ$ воспользуемся формулой преобразования произведения косинусов в сумму: $\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta))$.

Сначала преобразуем произведение первых двух косинусов:

$\cos 70^\circ \cos 50^\circ = \frac{1}{2}(\cos(70^\circ - 50^\circ) + \cos(70^\circ + 50^\circ)) = \frac{1}{2}(\cos 20^\circ + \cos 120^\circ)$.

Зная, что $\cos 120^\circ = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos 60^\circ = -\frac{1}{2}$, получаем:

$\frac{1}{2}(\cos 20^\circ - \frac{1}{2})$.

Теперь подставим это обратно в исходное выражение:

$(\frac{1}{2}(\cos 20^\circ - \frac{1}{2})) \cdot \cos 10^\circ = \frac{1}{2} \cos 20^\circ \cos 10^\circ - \frac{1}{4} \cos 10^\circ$.

Снова применяем формулу произведения косинусов для $\cos 20^\circ \cos 10^\circ$:

$\cos 20^\circ \cos 10^\circ = \frac{1}{2}(\cos(20^\circ - 10^\circ) + \cos(20^\circ + 10^\circ)) = \frac{1}{2}(\cos 10^\circ + \cos 30^\circ)$.

Подставляем это в наше выражение:

$\frac{1}{2} \left[ \frac{1}{2}(\cos 10^\circ + \cos 30^\circ) \right] - \frac{1}{4} \cos 10^\circ = \frac{1}{4} \cos 10^\circ + \frac{1}{4} \cos 30^\circ - \frac{1}{4} \cos 10^\circ$.

После сокращения подобных членов остается:

$\frac{1}{4} \cos 30^\circ$.

Так как $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, окончательный результат:

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{8}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{8}$.

2) Для вычисления выражения $\sin 15^\circ - \sin 75^\circ$ воспользуемся формулой преобразования разности синусов в произведение: $\sin \alpha - \sin \beta = 2 \cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) \sin\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$.

Применим эту формулу, где $\alpha = 15^\circ$ и $\beta = 75^\circ$:

$\sin 15^\circ - \sin 75^\circ = 2 \cos\left(\frac{15^\circ+75^\circ}{2}\right) \sin\left(\frac{15^\circ-75^\circ}{2}\right)$.

Вычислим аргументы функций:

$\frac{15^\circ+75^\circ}{2} = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$.

$\frac{15^\circ-75^\circ}{2} = \frac{-60^\circ}{2} = -30^\circ$.

Таким образом, выражение принимает вид:

$2 \cos 45^\circ \sin(-30^\circ)$.

Используя свойство нечетности синуса, $\sin(-x) = -\sin(x)$, получаем:

$2 \cos 45^\circ (-\sin 30^\circ) = -2 \cos 45^\circ \sin 30^\circ$.

Подставим табличные значения $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$:

$-2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = -\sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

4.84. Напишите формулу общего члена последовательности:

1) 1; 4; 7; 10; ...;

2) 0; 1; $\frac{\sqrt{2}}{2}$; $\sin \frac{\pi}{8}$; ...

1) Обозначим члены последовательности $a_n$, где $n$ - номер члена последовательности, начиная с 1. Дано: $a_1=1$, $a_2=4$, $a_3=7$, $a_4=10$.
Найдем разность между соседними членами последовательности:
$a_2 - a_1 = 4 - 1 = 3$
$a_3 - a_2 = 7 - 4 = 3$
$a_4 - a_3 = 10 - 7 = 3$
Поскольку разность между любыми двумя последовательными членами постоянна и равна 3, данная последовательность является арифметической прогрессией.
Первый член прогрессии $a_1 = 1$, а разность прогрессии $d = 3$.
Формула общего члена арифметической прогрессии имеет вид: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Подставив в формулу значения $a_1=1$ и $d=3$, получим:
$a_n = 1 + (n-1) \cdot 3 = 1 + 3n - 3 = 3n - 2$.
Проверим полученную формулу для первых нескольких членов:
Для $n=1$: $a_1 = 3 \cdot 1 - 2 = 1$.
Для $n=2$: $a_2 = 3 \cdot 2 - 2 = 4$.
Для $n=3$: $a_3 = 3 \cdot 3 - 2 = 7$.
Формула верна.
Ответ: $a_n = 3n - 2$.

2) Обозначим члены последовательности $a_n$. Дано: $a_1=0$, $a_2=1$, $a_3=\frac{\sqrt{2}}{2}$, $a_4=\sin\frac{\pi}{8}$.
Заметим, что значения членов последовательности соответствуют значениям функции синуса для определенных углов:
$a_1 = 0 = \sin(\pi)$
$a_2 = 1 = \sin(\frac{\pi}{2})$
$a_3 = \frac{\sqrt{2}}{2} = \sin(\frac{\pi}{4})$
$a_4 = \sin(\frac{\pi}{8})$
Рассмотрим последовательность аргументов функции синуса: $\pi, \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{8}, \dots$.
Эта последовательность является геометрической прогрессией. Найдем ее параметры. Первый член $x_1 = \pi$. Знаменатель прогрессии $q$ можно найти, разделив второй член на первый: $q = \frac{\pi/2}{\pi} = \frac{1}{2}$.
Формула $n$-го члена геометрической прогрессии: $x_n = x_1 \cdot q^{n-1}$.
Подставив найденные значения, получим формулу для аргумента синуса:
$x_n = \pi \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} = \frac{\pi}{2^{n-1}}$.
Следовательно, формула общего члена исходной последовательности:
$a_n = \sin(x_n) = \sin\left(\frac{\pi}{2^{n-1}}\right)$.
Проверим эту формулу:
Для $n=1$: $a_1 = \sin\left(\frac{\pi}{2^{1-1}}\right) = \sin(\pi) = 0$.
Для $n=2$: $a_2 = \sin\left(\frac{\pi}{2^{2-1}}\right) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.
Для $n=3$: $a_3 = \sin\left(\frac{\pi}{2^{3-1}}\right) = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Формула верна.
Ответ: $a_n = \sin\left(\frac{\pi}{2^{n-1}}\right)$.