Страница 125 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.101. Решите уравнение:

1) $\sin 2x = \sqrt{3} \sin x$;

2) $\frac{\sin 2x}{4+\sin x} = -2\cos x$.

1) $\sin 2x = \sqrt{3} \sin x$

Используем формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$:

$2\sin x \cos x = \sqrt{3} \sin x$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$2\sin x \cos x - \sqrt{3} \sin x = 0$

Вынесем общий множитель $\sin x$ за скобки:

$\sin x (2\cos x - \sqrt{3}) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два уравнения:

а) $\sin x = 0$

Решения этого уравнения: $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

б) $2\cos x - \sqrt{3} = 0$

$2\cos x = \sqrt{3}$

$\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Решения этого уравнения: $x = \pm \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Объединяя все найденные серии корней, получаем итоговый результат.

Ответ: $\pi n, \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

2) $\frac{\sin 2x}{4 + \sin x} = -2\cos x$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель не может быть равен нулю:

$4 + \sin x \neq 0$

Поскольку область значений синуса $[-1, 1]$, то выражение $4 + \sin x$ принимает значения от $4 - 1 = 3$ до $4 + 1 = 5$. Таким образом, знаменатель никогда не равен нулю, и ОДЗ — все действительные числа.

Умножим обе части уравнения на $(4 + \sin x)$:

$\sin 2x = -2\cos x (4 + \sin x)$

Применим формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$:

$2\sin x \cos x = -2\cos x (4 + \sin x)$

Перенесем все в левую часть и вынесем общий множитель $2\cos x$ за скобки:

$2\sin x \cos x + 2\cos x (4 + \sin x) = 0$

$2\cos x (\sin x + 4 + \sin x) = 0$

$2\cos x (2\sin x + 4) = 0$

$4\cos x (\sin x + 2) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

а) $\cos x = 0$

Решения этого уравнения: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

б) $\sin x + 2 = 0$

$\sin x = -2$

Это уравнение не имеет решений, так как область значений функции $\sin x$ — это отрезок $[-1, 1]$.

Таким образом, решением исходного уравнения являются только корни из первого случая.

Ответ: $\frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

4.102. Найдите производные функции:

1) $sin^3x;$

2) $\sqrt{x^2 + 2x + 1};$

3) $\sqrt[3]{x^2 - 1}.$

1) Чтобы найти производную функции $y = \sin^3 x$, мы используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило), которое гласит: $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.
В нашем случае, функция $y = \sin^3 x$ может быть представлена как композиция двух функций: внешней степенной функции $f(u) = u^3$ и внутренней тригонометрической функции $u = g(x) = \sin x$.
Сначала найдем производные этих функций:
Производная внешней функции: $f'(u) = (u^3)' = 3u^2$.
Производная внутренней функции: $g'(x) = (\sin x)' = \cos x$.
Теперь, согласно цепному правилу, подставляем $u = \sin x$ в производную внешней функции и умножаем на производную внутренней функции:
$y' = (\sin^3 x)' = 3(\sin x)^2 \cdot (\sin x)' = 3\sin^2 x \cdot \cos x$.
Ответ: $3\sin^2 x \cos x$.

2) Рассмотрим функцию $y = \sqrt{x^2 + 2x + 1}$.
В первую очередь, упростим выражение под знаком корня. Заметим, что $x^2 + 2x + 1$ является формулой полного квадрата суммы: $x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$.
Тогда нашу функцию можно переписать в виде: $y = \sqrt{(x+1)^2} = |x+1|$.
Функция модуля определяется кусочно:
$y = |x+1| = \begin{cases} x+1, & \text{если } x+1 \ge 0 \implies x \ge -1 \\ -(x+1), & \text{если } x+1 < 0 \implies x < -1 \end{cases}$
Теперь найдем производную для каждого из интервалов:
При $x > -1$, функция равна $y = x+1$. Ее производная: $y' = (x+1)' = 1$.
При $x < -1$, функция равна $y = -(x+1) = -x-1$. Ее производная: $y' = (-x-1)' = -1$.
В точке $x = -1$ график функции имеет излом (острый угол), поэтому в этой точке производная не существует.
Результат также можно записать в компактной форме, используя функцию знака: $y' = \text{sgn}(x+1)$ при $x \ne -1$.
Ответ: $y' = \begin{cases} 1, & \text{при } x > -1 \\ -1, & \text{при } x < -1 \end{cases}$; в точке $x=-1$ производная не существует.

3) Чтобы найти производную функции $y = \sqrt[3]{x^2 - 1}$, представим ее в виде степенной функции: $y = (x^2 - 1)^{1/3}$.
Здесь мы также применяем цепное правило для производной сложной функции $(u^k)' = k \cdot u^{k-1} \cdot u'$.
Внешняя функция — это степенная функция $f(u) = u^{1/3}$, а внутренняя — $u = g(x) = x^2 - 1$.
Найдем производную внутренней функции: $u' = (x^2 - 1)' = 2x$.
Теперь применим цепное правило:
$y' = \left((x^2 - 1)^{1/3}\right)' = \frac{1}{3}(x^2 - 1)^{\frac{1}{3}-1} \cdot (x^2 - 1)'$
$y' = \frac{1}{3}(x^2 - 1)^{-2/3} \cdot 2x$
Перепишем выражение, чтобы избавиться от отрицательной степени:
$y' = \frac{2x}{3(x^2 - 1)^{2/3}}$
Вернемся к записи с помощью корня:
$y' = \frac{2x}{3\sqrt[3]{(x^2 - 1)^2}}$.
Ответ: $\frac{2x}{3\sqrt[3]{(x^2-1)^2}}$.

4.103. Определите промежутки монотонности функции:

1) $y = x + \frac{1}{x}$;

2) $y = 3x^2 - x^3$.

1) $y = x + \frac{1}{x}$

Для определения промежутков монотонности функции найдем ее производную и определим знаки производной на области определения.

1. Область определения функции.

Функция не определена, когда знаменатель равен нулю, то есть при $x=0$.
Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Находим производную функции.

$y' = (x + \frac{1}{x})' = (x)' + (x^{-1})' = 1 - 1 \cdot x^{-2} = 1 - \frac{1}{x^2}$.

3. Находим критические точки.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти стационарные точки:

$y' = 0 \implies 1 - \frac{1}{x^2} = 0$

$\frac{x^2 - 1}{x^2} = 0$

$x^2 - 1 = 0 \quad$ и $\quad x^2 \neq 0$

$(x-1)(x+1) = 0$

Отсюда получаем $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

Производная не существует в точке $x=0$, но эта точка не входит в область определения функции.

Критические точки $x=-1$ и $x=1$, а также точка разрыва $x=0$ разбивают числовую прямую на четыре интервала: $(-\infty; -1)$, $(-1; 0)$, $(0; 1)$, $(1; +\infty)$.

4. Определяем знаки производной на интервалах.

Знак производной $y' = \frac{x^2-1}{x^2}$ зависит только от знака числителя $x^2-1$, так как знаменатель $x^2$ всегда положителен при $x \neq 0$.

• На интервале $(-\infty; -1)$: возьмем точку $x=-2$. $y'(-2) = 1 - \frac{1}{(-2)^2} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} > 0$. Следовательно, функция возрастает.
• На интервале $(-1; 0)$: возьмем точку $x=-0.5$. $y'(-0.5) = 1 - \frac{1}{(-0.5)^2} = 1 - 4 = -3 < 0$. Следовательно, функция убывает.
• На интервале $(0; 1)$: возьмем точку $x=0.5$. $y'(0.5) = 1 - \frac{1}{(0.5)^2} = 1 - 4 = -3 < 0$. Следовательно, функция убывает.
• На интервале $(1; +\infty)$: возьмем точку $x=2$. $y'(2) = 1 - \frac{1}{2^2} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} > 0$. Следовательно, функция возрастает.

Таким образом, функция возрастает при $y' > 0$ и убывает при $y' < 0$. Так как функция непрерывна в точках $x=-1$ и $x=1$, эти точки можно включить в промежутки монотонности.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -1]$ и $[1; +\infty)$, убывает на промежутках $[-1; 0)$ и $(0; 1]$.

2) $y = 3x^2 - x^3$

Для определения промежутков монотонности функции найдем ее производную и определим знаки производной на области определения.

1. Область определения функции.

Функция является многочленом, поэтому она определена для всех действительных чисел.
Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Находим производную функции.

$y' = (3x^2 - x^3)' = 3 \cdot 2x - 3x^2 = 6x - 3x^2$.

3. Находим критические точки.

Приравняем производную к нулю:

$y' = 0 \implies 6x - 3x^2 = 0$

$3x(2 - x) = 0$

Отсюда получаем $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$.

Производная существует на всей области определения. Критические точки $x=0$ и $x=2$ разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty; 0)$, $(0; 2)$, $(2; +\infty)$.

4. Определяем знаки производной на интервалах.

Производная $y' = 6x - 3x^2 = -3x(x-2)$ является квадратичной функцией, график которой — парабола с ветвями, направленными вниз.

• На интервале $(-\infty; 0)$: возьмем точку $x=-1$. $y'(-1) = 6(-1) - 3(-1)^2 = -6 - 3 = -9 < 0$. Следовательно, функция убывает.
• На интервале $(0; 2)$: возьмем точку $x=1$. $y'(1) = 6(1) - 3(1)^2 = 6 - 3 = 3 > 0$. Следовательно, функция возрастает.
• На интервале $(2; +\infty)$: возьмем точку $x=3$. $y'(3) = 6(3) - 3(3)^2 = 18 - 27 = -9 < 0$. Следовательно, функция убывает.

Так как функция непрерывна на всей числовой прямой, точки $x=0$ и $x=2$ можно включить в промежутки монотонности.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[0; 2]$, убывает на промежутках $(-\infty; 0]$ и $[2; +\infty)$.