Номер 4.103, страница 125 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.103. Определите промежутки монотонности функции:

1) $y = x + \frac{1}{x}$;

2) $y = 3x^2 - x^3$.

1) $y = x + \frac{1}{x}$

Для определения промежутков монотонности функции найдем ее производную и определим знаки производной на области определения.

1. Область определения функции.

Функция не определена, когда знаменатель равен нулю, то есть при $x=0$.
Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Находим производную функции.

$y' = (x + \frac{1}{x})' = (x)' + (x^{-1})' = 1 - 1 \cdot x^{-2} = 1 - \frac{1}{x^2}$.

3. Находим критические точки.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти стационарные точки:

$y' = 0 \implies 1 - \frac{1}{x^2} = 0$

$\frac{x^2 - 1}{x^2} = 0$

$x^2 - 1 = 0 \quad$ и $\quad x^2 \neq 0$

$(x-1)(x+1) = 0$

Отсюда получаем $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

Производная не существует в точке $x=0$, но эта точка не входит в область определения функции.

Критические точки $x=-1$ и $x=1$, а также точка разрыва $x=0$ разбивают числовую прямую на четыре интервала: $(-\infty; -1)$, $(-1; 0)$, $(0; 1)$, $(1; +\infty)$.

4. Определяем знаки производной на интервалах.

Знак производной $y' = \frac{x^2-1}{x^2}$ зависит только от знака числителя $x^2-1$, так как знаменатель $x^2$ всегда положителен при $x \neq 0$.

• На интервале $(-\infty; -1)$: возьмем точку $x=-2$. $y'(-2) = 1 - \frac{1}{(-2)^2} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} > 0$. Следовательно, функция возрастает.
• На интервале $(-1; 0)$: возьмем точку $x=-0.5$. $y'(-0.5) = 1 - \frac{1}{(-0.5)^2} = 1 - 4 = -3 < 0$. Следовательно, функция убывает.
• На интервале $(0; 1)$: возьмем точку $x=0.5$. $y'(0.5) = 1 - \frac{1}{(0.5)^2} = 1 - 4 = -3 < 0$. Следовательно, функция убывает.
• На интервале $(1; +\infty)$: возьмем точку $x=2$. $y'(2) = 1 - \frac{1}{2^2} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} > 0$. Следовательно, функция возрастает.

Таким образом, функция возрастает при $y' > 0$ и убывает при $y' < 0$. Так как функция непрерывна в точках $x=-1$ и $x=1$, эти точки можно включить в промежутки монотонности.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -1]$ и $[1; +\infty)$, убывает на промежутках $[-1; 0)$ и $(0; 1]$.

2) $y = 3x^2 - x^3$

Для определения промежутков монотонности функции найдем ее производную и определим знаки производной на области определения.

1. Область определения функции.

Функция является многочленом, поэтому она определена для всех действительных чисел.
Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Находим производную функции.

$y' = (3x^2 - x^3)' = 3 \cdot 2x - 3x^2 = 6x - 3x^2$.

3. Находим критические точки.

Приравняем производную к нулю:

$y' = 0 \implies 6x - 3x^2 = 0$

$3x(2 - x) = 0$

Отсюда получаем $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$.

Производная существует на всей области определения. Критические точки $x=0$ и $x=2$ разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty; 0)$, $(0; 2)$, $(2; +\infty)$.

4. Определяем знаки производной на интервалах.

Производная $y' = 6x - 3x^2 = -3x(x-2)$ является квадратичной функцией, график которой — парабола с ветвями, направленными вниз.

• На интервале $(-\infty; 0)$: возьмем точку $x=-1$. $y'(-1) = 6(-1) - 3(-1)^2 = -6 - 3 = -9 < 0$. Следовательно, функция убывает.
• На интервале $(0; 2)$: возьмем точку $x=1$. $y'(1) = 6(1) - 3(1)^2 = 6 - 3 = 3 > 0$. Следовательно, функция возрастает.
• На интервале $(2; +\infty)$: возьмем точку $x=3$. $y'(3) = 6(3) - 3(3)^2 = 18 - 27 = -9 < 0$. Следовательно, функция убывает.

Так как функция непрерывна на всей числовой прямой, точки $x=0$ и $x=2$ можно включить в промежутки монотонности.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[0; 2]$, убывает на промежутках $(-\infty; 0]$ и $[2; +\infty)$.