Номер 4.98, страница 124 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.98. В мешочек с двумя альчиками положили альчик красного цвета, а затем из него наудачу вынули один альчик. Какова вероятность того, что этот альчик имеет красный цвет? Считается, что события «цвет альчиков, первоначально находившихся в мешочке, одинаковый» равновозможные.

Для решения задачи воспользуемся формулой полной вероятности. Пусть событие $A$ заключается в том, что извлеченный из мешочка альчик имеет красный цвет.

Сначала определим гипотезы о первоначальном составе альчиков в мешочке. Пусть К обозначает красный альчик, а Н — альчик другого (не красного) цвета. Существуют три возможные гипотезы о составе двух первоначальных альчиков:
$H_1$ — оба альчика красные (КК).
$H_2$ — оба альчика не красные (НН).
$H_3$ — один альчик красный, а другой не красный (КН).

Из условия задачи известно, что события «цвет альчиков... одинаковый» и «цвет альчиков... разный» (подразумевается) равновозможны.
Событие «цвет одинаковый» соответствует объединению гипотез $H_1$ и $H_2$.
Событие «цвет разный» соответствует гипотезе $H_3$.
Поскольку эти два события равновозможны и в сумме составляют полную группу событий, вероятность каждого из них равна $1/2$.
Таким образом, $P(H_3) = \frac{1}{2}$.
И $P(H_1 \cup H_2) = P(H_1) + P(H_2) = \frac{1}{2}$.
В задаче нет информации, которая позволила бы отдать предпочтение гипотезе $H_1$ перед $H_2$. Поэтому естественно предположить, что они равновероятны: $P(H_1) = P(H_2)$.
Отсюда получаем: $P(H_1) = P(H_2) = \frac{1}{2} \div 2 = \frac{1}{4}$.
Итак, вероятности гипотез: $P(H_1) = \frac{1}{4}$, $P(H_2) = \frac{1}{4}$, $P(H_3) = \frac{1}{2}$.

Далее в мешочек положили альчик красного цвета. Теперь в мешочке 3 альчика. Найдем условные вероятности события $A$ (вынули красный альчик) для каждой гипотезы:
1. Если была верна гипотеза $H_1$ (исходно КК), то в мешочке стало 3 красных альчика (ККК). Вероятность извлечь красный альчик равна $P(A|H_1) = \frac{3}{3} = 1$.
2. Если была верна гипотеза $H_2$ (исходно НН), то в мешочке стал 1 красный и 2 некрасных альчика (ННК). Вероятность извлечь красный альчик равна $P(A|H_2) = \frac{1}{3}$.
3. Если была верна гипотеза $H_3$ (исходно КН), то в мешочке стало 2 красных и 1 некрасный альчик (КНК). Вероятность извлечь красный альчик равна $P(A|H_3) = \frac{2}{3}$.

Теперь по формуле полной вероятности найдем искомую вероятность события $A$:
$P(A) = P(H_1)P(A|H_1) + P(H_2)P(A|H_2) + P(H_3)P(A|H_3)$
Подставляем вычисленные значения:
$P(A) = \frac{1}{4} \cdot 1 + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{4} + \frac{1}{12} + \frac{2}{6}$
Приводя дроби к общему знаменателю 12, получаем:
$P(A) = \frac{3}{12} + \frac{1}{12} + \frac{4}{12} = \frac{3+1+4}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{2}{3}$