Номер 4.94, страница 124 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.94. В первой урне имеется 1 белый и 9 красных шаров, а во второй урне – 1 красный и 5 белых шаров. Из каждой урны наугад вынули по одному шару и отложили их. Оставшиеся шары из обеих урн переложили в третью урну. Найдите вероятность того, что шар, вынутый из третьей урны, окажется белым.

Для решения данной задачи воспользуемся формулой полной вероятности. Пусть событие $A$ заключается в том, что шар, вынутый из третьей урны, окажется белым. Вероятность этого события зависит от того, какие шары были извлечены из первых двух урн.

Введем гипотезы:

$H_1$ – из первой урны вынут белый шар, из второй – белый шар.

$H_2$ – из первой урны вынут белый шар, из второй – красный шар.

$H_3$ – из первой урны вынут красный шар, из второй – белый шар.

$H_4$ – из первой урны вынут красный шар, из второй – красный шар.

Найдем вероятности этих гипотез. Изначально в первой урне 1 белый и 9 красных шаров (всего 10), а во второй – 5 белых и 1 красный (всего 6). Вероятности извлечения шаров из каждой урны:

Из первой урны: $P(Б_1) = \frac{1}{10}$, $P(К_1) = \frac{9}{10}$.

Из второй урны: $P(Б_2) = \frac{5}{6}$, $P(К_2) = \frac{1}{6}$.

Так как извлечение шаров из урн – независимые события, вероятности гипотез равны:

$P(H_1) = P(Б_1) \cdot P(Б_2) = \frac{1}{10} \cdot \frac{5}{6} = \frac{5}{60}$

$P(H_2) = P(Б_1) \cdot P(К_2) = \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{60}$

$P(H_3) = P(К_1) \cdot P(Б_2) = \frac{9}{10} \cdot \frac{5}{6} = \frac{45}{60}$

$P(H_4) = P(К_1) \cdot P(К_2) = \frac{9}{10} \cdot \frac{1}{6} = \frac{9}{60}$

После извлечения по одному шару из каждой урны, в третью урну перекладывают оставшиеся шары. Общее количество шаров в третьей урне всегда будет $(10-1) + (6-1) = 14$.

Теперь найдем условные вероятности события $A$ для каждой гипотезы.

1. Если произошла гипотеза $H_1$ (извлечены белый и белый), то в первой урне осталось 0 белых и 9 красных, а во второй – 4 белых и 1 красный. В третьей урне будет $0+4=4$ белых и $9+1=10$ красных шаров. Вероятность вынуть белый шар: $P(A|H_1) = \frac{4}{14} = \frac{2}{7}$.

2. Если произошла гипотеза $H_2$ (извлечены белый и красный), то в первой урне осталось 0 белых и 9 красных, а во второй – 5 белых и 0 красных. В третьей урне будет $0+5=5$ белых и $9+0=9$ красных шаров. Вероятность вынуть белый шар: $P(A|H_2) = \frac{5}{14}$.

3. Если произошла гипотеза $H_3$ (извлечены красный и белый), то в первой урне остался 1 белый и 8 красных, а во второй – 4 белых и 1 красный. В третьей урне будет $1+4=5$ белых и $8+1=9$ красных шаров. Вероятность вынуть белый шар: $P(A|H_3) = \frac{5}{14}$.

4. Если произошла гипотеза $H_4$ (извлечены красный и красный), то в первой урне остался 1 белый и 8 красных, а во второй – 5 белых и 0 красных. В третьей урне будет $1+5=6$ белых и $8+0=8$ красных шаров. Вероятность вынуть белый шар: $P(A|H_4) = \frac{6}{14} = \frac{3}{7}$.

По формуле полной вероятности, искомая вероятность $P(A)$ равна:

$P(A) = P(H_1)P(A|H_1) + P(H_2)P(A|H_2) + P(H_3)P(A|H_3) + P(H_4)P(A|H_4)$

$P(A) = \frac{5}{60} \cdot \frac{4}{14} + \frac{1}{60} \cdot \frac{5}{14} + \frac{45}{60} \cdot \frac{5}{14} + \frac{9}{60} \cdot \frac{6}{14}$

$P(A) = \frac{1}{60 \cdot 14} (5 \cdot 4 + 1 \cdot 5 + 45 \cdot 5 + 9 \cdot 6)$

$P(A) = \frac{1}{840} (20 + 5 + 225 + 54) = \frac{304}{840}$

Сократим полученную дробь. Разделим числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 8:

$P(A) = \frac{304 \div 8}{840 \div 8} = \frac{38}{105}$

Ответ: искомая вероятность равна $\frac{38}{105}$.