Номер 4.97, страница 124 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.97. На одной из 10 монет, внешне одинаковых, с обеих сторон изображен герб, а другие нормальные. Наудачу выбрали одну из этих монет и подбросили 10 раз. Во всех случаях, т.е. 10 раз, монета упала гербовой стороной. Какова вероятность того, что подбрасывали монету с двумя гербовыми сторонами?

Для решения данной задачи воспользуемся формулой полной вероятности и формулой Байеса. Введем следующие гипотезы и события:

Гипотеза $H_1$: была выбрана монета с двумя гербами.

Гипотеза $H_2$: была выбрана нормальная монета (с гербом и решкой).

Событие $A$: при 10 подбрасываниях монета 10 раз упала гербовой стороной.

Нам необходимо найти вероятность $P(H_1|A)$, то есть вероятность того, что была выбрана монета с двумя гербами, при условии, что произошло событие $A$.

Согласно условию, всего 10 монет, из которых одна – с двумя гербами, а остальные 9 – нормальные. Вероятности выбора каждой из гипотез (априорные вероятности) равны:

$P(H_1) = \frac{1}{10}$

$P(H_2) = \frac{9}{10}$

Теперь найдем условные вероятности события $A$ для каждой из гипотез.

Если была выбрана монета с двумя гербами (гипотеза $H_1$), то при каждом броске герб выпадает с вероятностью 1. Следовательно, вероятность того, что в 10 бросках выпадет 10 гербов, равна:

$P(A|H_1) = 1^{10} = 1$

Если была выбрана нормальная монета (гипотеза $H_2$), то вероятность выпадения герба при одном броске равна $\frac{1}{2}$. Вероятность того, что в 10 независимых бросках выпадет 10 гербов, равна:

$P(A|H_2) = (\frac{1}{2})^{10} = \frac{1}{1024}$

Теперь найдем полную вероятность события $A$ по формуле полной вероятности:

$P(A) = P(H_1) \cdot P(A|H_1) + P(H_2) \cdot P(A|H_2)$

Подставим вычисленные значения:

$P(A) = \frac{1}{10} \cdot 1 + \frac{9}{10} \cdot \frac{1}{1024} = \frac{1}{10} + \frac{9}{10240} = \frac{1024}{10240} + \frac{9}{10240} = \frac{1033}{10240}$

Наконец, по формуле Байеса найдем искомую вероятность $P(H_1|A)$:

$P(H_1|A) = \frac{P(H_1) \cdot P(A|H_1)}{P(A)}$

$P(H_1|A) = \frac{\frac{1}{10} \cdot 1}{\frac{1033}{10240}} = \frac{1}{10} \cdot \frac{10240}{1033} = \frac{1024}{1033}$

Ответ: Вероятность того, что подбрасывали монету с двумя гербовыми сторонами, равна $\frac{1024}{1033}$.