Номер 4.102, страница 125 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.102. Найдите производные функции:

1) $sin^3x;$

2) $\sqrt{x^2 + 2x + 1};$

3) $\sqrt[3]{x^2 - 1}.$

1) Чтобы найти производную функции $y = \sin^3 x$, мы используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило), которое гласит: $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.
В нашем случае, функция $y = \sin^3 x$ может быть представлена как композиция двух функций: внешней степенной функции $f(u) = u^3$ и внутренней тригонометрической функции $u = g(x) = \sin x$.
Сначала найдем производные этих функций:
Производная внешней функции: $f'(u) = (u^3)' = 3u^2$.
Производная внутренней функции: $g'(x) = (\sin x)' = \cos x$.
Теперь, согласно цепному правилу, подставляем $u = \sin x$ в производную внешней функции и умножаем на производную внутренней функции:
$y' = (\sin^3 x)' = 3(\sin x)^2 \cdot (\sin x)' = 3\sin^2 x \cdot \cos x$.
Ответ: $3\sin^2 x \cos x$.

2) Рассмотрим функцию $y = \sqrt{x^2 + 2x + 1}$.
В первую очередь, упростим выражение под знаком корня. Заметим, что $x^2 + 2x + 1$ является формулой полного квадрата суммы: $x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$.
Тогда нашу функцию можно переписать в виде: $y = \sqrt{(x+1)^2} = |x+1|$.
Функция модуля определяется кусочно:
$y = |x+1| = \begin{cases} x+1, & \text{если } x+1 \ge 0 \implies x \ge -1 \\ -(x+1), & \text{если } x+1 < 0 \implies x < -1 \end{cases}$
Теперь найдем производную для каждого из интервалов:
При $x > -1$, функция равна $y = x+1$. Ее производная: $y' = (x+1)' = 1$.
При $x < -1$, функция равна $y = -(x+1) = -x-1$. Ее производная: $y' = (-x-1)' = -1$.
В точке $x = -1$ график функции имеет излом (острый угол), поэтому в этой точке производная не существует.
Результат также можно записать в компактной форме, используя функцию знака: $y' = \text{sgn}(x+1)$ при $x \ne -1$.
Ответ: $y' = \begin{cases} 1, & \text{при } x > -1 \\ -1, & \text{при } x < -1 \end{cases}$; в точке $x=-1$ производная не существует.

3) Чтобы найти производную функции $y = \sqrt[3]{x^2 - 1}$, представим ее в виде степенной функции: $y = (x^2 - 1)^{1/3}$.
Здесь мы также применяем цепное правило для производной сложной функции $(u^k)' = k \cdot u^{k-1} \cdot u'$.
Внешняя функция — это степенная функция $f(u) = u^{1/3}$, а внутренняя — $u = g(x) = x^2 - 1$.
Найдем производную внутренней функции: $u' = (x^2 - 1)' = 2x$.
Теперь применим цепное правило:
$y' = \left((x^2 - 1)^{1/3}\right)' = \frac{1}{3}(x^2 - 1)^{\frac{1}{3}-1} \cdot (x^2 - 1)'$
$y' = \frac{1}{3}(x^2 - 1)^{-2/3} \cdot 2x$
Перепишем выражение, чтобы избавиться от отрицательной степени:
$y' = \frac{2x}{3(x^2 - 1)^{2/3}}$
Вернемся к записи с помощью корня:
$y' = \frac{2x}{3\sqrt[3]{(x^2 - 1)^2}}$.
Ответ: $\frac{2x}{3\sqrt[3]{(x^2-1)^2}}$.