Номер 4.101, страница 125 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.101. Решите уравнение:

1) $\sin 2x = \sqrt{3} \sin x$;

2) $\frac{\sin 2x}{4+\sin x} = -2\cos x$.

1) $\sin 2x = \sqrt{3} \sin x$

Используем формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$:

$2\sin x \cos x = \sqrt{3} \sin x$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$2\sin x \cos x - \sqrt{3} \sin x = 0$

Вынесем общий множитель $\sin x$ за скобки:

$\sin x (2\cos x - \sqrt{3}) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два уравнения:

а) $\sin x = 0$

Решения этого уравнения: $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

б) $2\cos x - \sqrt{3} = 0$

$2\cos x = \sqrt{3}$

$\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Решения этого уравнения: $x = \pm \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Объединяя все найденные серии корней, получаем итоговый результат.

Ответ: $\pi n, \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

2) $\frac{\sin 2x}{4 + \sin x} = -2\cos x$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель не может быть равен нулю:

$4 + \sin x \neq 0$

Поскольку область значений синуса $[-1, 1]$, то выражение $4 + \sin x$ принимает значения от $4 - 1 = 3$ до $4 + 1 = 5$. Таким образом, знаменатель никогда не равен нулю, и ОДЗ — все действительные числа.

Умножим обе части уравнения на $(4 + \sin x)$:

$\sin 2x = -2\cos x (4 + \sin x)$

Применим формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$:

$2\sin x \cos x = -2\cos x (4 + \sin x)$

Перенесем все в левую часть и вынесем общий множитель $2\cos x$ за скобки:

$2\sin x \cos x + 2\cos x (4 + \sin x) = 0$

$2\cos x (\sin x + 4 + \sin x) = 0$

$2\cos x (2\sin x + 4) = 0$

$4\cos x (\sin x + 2) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

а) $\cos x = 0$

Решения этого уравнения: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

б) $\sin x + 2 = 0$

$\sin x = -2$

Это уравнение не имеет решений, так как область значений функции $\sin x$ — это отрезок $[-1, 1]$.

Таким образом, решением исходного уравнения являются только корни из первого случая.

Ответ: $\frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.