Номер 4.99, страница 124 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.99. Два равных по мастерству шахматиста играют в шахматы. Какое из событий более вероятно:

1) победа в двух партиях из четырех или в трех партиях из шести;

2) победа по крайней мере в двух партиях из четырех или по крайней мере в трех партиях из шести?

Для решения задачи предположим, что исходы партий являются независимыми событиями. Поскольку шахматисты равны по мастерству, будем считать, что для одного из них вероятность победы в каждой отдельной партии равна $p=1/2$, а вероятность не-победы (поражения или ничьей) равна $q=1-p=1/2$.

В этом случае мы имеем дело со схемой испытаний Бернулли. Вероятность того, что в $n$ партиях будет одержано ровно $k$ побед, вычисляется по формуле:

$P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k} = C_n^k (\frac{1}{2})^k (\frac{1}{2})^{n-k} = C_n^k \frac{1}{2^n}$

где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ – число сочетаний из $n$ по $k$.

1) победа в двух партиях из четырех или в трех партиях из шести

Найдем вероятность победы ровно в двух партиях из четырех ($n=4, k=2$):

$P_A = P_4(2) = C_4^2 \cdot \frac{1}{2^4} = \frac{4!}{2!(4-2)!} \cdot \frac{1}{16} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} \cdot \frac{1}{16} = 6 \cdot \frac{1}{16} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$

Найдем вероятность победы ровно в трех партиях из шести ($n=6, k=3$):

$P_B = P_6(3) = C_6^3 \cdot \frac{1}{2^6} = \frac{6!}{3!(6-3)!} \cdot \frac{1}{64} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot \frac{1}{64} = 20 \cdot \frac{1}{64} = \frac{20}{64} = \frac{5}{16}$

Теперь сравним эти две вероятности. Приведем дробь $\frac{3}{8}$ к знаменателю 16: $\frac{3}{8} = \frac{6}{16}$.

Поскольку $\frac{6}{16} > \frac{5}{16}$, то есть $P_A > P_B$, событие «победа в двух партиях из четырех» более вероятно.

Ответ: Более вероятно победить в двух партиях из четырех.

2) победа по крайней мере в двух партиях из четырех или по крайней мере в трех партиях из шести

Найдем вероятность победы по крайней мере в двух партиях из четырех. Это означает, что число побед $k$ может быть 2, 3 или 4. Проще найти вероятность противоположного события (0 или 1 победа) и вычесть ее из единицы.

$P_C = P_4(k \ge 2) = 1 - (P_4(0) + P_4(1))$

$P_4(0) = C_4^0 \frac{1}{2^4} = 1 \cdot \frac{1}{16} = \frac{1}{16}$

$P_4(1) = C_4^1 \frac{1}{2^4} = 4 \cdot \frac{1}{16} = \frac{4}{16}$

$P_C = 1 - (\frac{1}{16} + \frac{4}{16}) = 1 - \frac{5}{16} = \frac{11}{16}$

Найдем вероятность победы по крайней мере в трех партиях из шести. Это означает, что число побед $k$ может быть 3, 4, 5 или 6.

$P_D = P_6(k \ge 3) = P_6(3) + P_6(4) + P_6(5) + P_6(6)$

$P_6(3) = C_6^3 \frac{1}{2^6} = 20 \cdot \frac{1}{64} = \frac{20}{64}$

$P_6(4) = C_6^4 \frac{1}{2^6} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} \cdot \frac{1}{64} = 15 \cdot \frac{1}{64} = \frac{15}{64}$

$P_6(5) = C_6^5 \frac{1}{2^6} = 6 \cdot \frac{1}{64} = \frac{6}{64}$

$P_6(6) = C_6^6 \frac{1}{2^6} = 1 \cdot \frac{1}{64} = \frac{1}{64}$

$P_D = \frac{20}{64} + \frac{15}{64} + \frac{6}{64} + \frac{1}{64} = \frac{20+15+6+1}{64} = \frac{42}{64} = \frac{21}{32}$

Сравним вероятности $P_C$ и $P_D$. Приведем дробь $\frac{11}{16}$ к знаменателю 32: $\frac{11}{16} = \frac{22}{32}$.

Поскольку $\frac{22}{32} > \frac{21}{32}$, то есть $P_C > P_D$, событие «победа по крайней мере в двух партиях из четырех» более вероятно.

Ответ: Более вероятно победить по крайней мере в двух партиях из четырех.