Страница 112 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.18. Сколькими способами можно расставить 6 шашек на черных клетках шахматной доски?

Стандартная шахматная доска имеет размеры 8x8, что составляет 64 клетки. Ровно половина из этих клеток — черные. Следовательно, количество черных клеток на доске равно $64 / 2 = 32$.

Задача состоит в том, чтобы найти количество способов разместить 6 одинаковых (неразличимых) шашек на 32 доступные черные клетки. Поскольку порядок выбора клеток не имеет значения, а шашки идентичны, мы используем формулу для числа сочетаний.

Число сочетаний из $n$ элементов по $k$ определяется формулой:

$C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В данном случае, общее количество мест (черных клеток) $n = 32$, а количество шашек, которые нужно расставить, $k = 6$. Подставляем эти значения в формулу:

$C_{32}^6 = \frac{32!}{6!(32-6)!} = \frac{32!}{6! \cdot 26!}$

Распишем факториалы и проведем вычисления:

$C_{32}^6 = \frac{32 \times 31 \times 30 \times 29 \times 28 \times 27}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}$

Для удобства вычислений сократим множители в числителе и знаменателе:

$C_{32}^6 = \frac{32 \times 31 \times (6 \times 5) \times 29 \times 28 \times 27}{(6 \times 5) \times (4 \times 3 \times 2 \times 1)} = \frac{32 \times 31 \times 29 \times 28 \times 27}{24}$

Сократим $32$ и $24$ на их общий делитель $8$:

$C_{32}^6 = \frac{4 \times 31 \times 29 \times 28 \times 27}{3}$

Теперь сократим $27$ и $3$:

$C_{32}^6 = 4 \times 31 \times 29 \times 28 \times 9$

Перемножим полученные числа:

$C_{32}^6 = 4 \times 31 \times 29 \times 28 \times 9 = 124 \times 29 \times 252 = 3596 \times 252 = 906192$

Следовательно, существует 906 192 способа расставить 6 шашек на черных клетках шахматной доски.

Ответ: 906192.

4.19. В пассажирском поезде 15 вагонов. Сколькими способами можно рассадить трех пассажиров в различные вагоны?

Это задача по комбинаторике на нахождение числа размещений без повторений. Нам нужно определить, сколькими способами можно выбрать 3 различных вагона для 3 различных пассажиров из 15 имеющихся вагонов.

Давайте рассуждать последовательно:

1. У первого пассажира есть 15 вариантов выбора вагона.

2. Так как все пассажиры должны находиться в разных вагонах, второй пассажир уже не может выбрать вагон, занятый первым. Следовательно, для него остается $15 - 1 = 14$ вариантов.

3. Третий пассажир должен выбрать вагон, который не занят ни первым, ни вторым пассажирами. Для него остается $15 - 2 = 13$ вариантов.

Чтобы найти общее количество способов, нужно перемножить количество вариантов для каждого пассажира, согласно правилу умножения в комбинаторике:

$N = 15 \times 14 \times 13$

Вычислим произведение:

$15 \times 14 = 210$

$210 \times 13 = 2730$

Также эту задачу можно решить с помощью формулы для числа размещений без повторений из $n$ элементов по $k$:

$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

Здесь $n = 15$ (общее число вагонов), а $k = 3$ (число пассажиров).

$A_{15}^3 = \frac{15!}{(15-3)!} = \frac{15!}{12!} = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12!}{12!} = 15 \times 14 \times 13 = 2730$

Таким образом, существует 2730 способов рассадить трех пассажиров в 15 различных вагонов.

Ответ: 2730

4.20. Для участия в соревнованиях по баскетболу тренер из 14 юношей составил команду численностью 5 игроков. Сколькими способами он может составить команду, если известно, что двое юношей обязательно войдут в состав команды?

По условию задачи, тренер должен составить команду из 5 игроков, выбрав их из 14 юношей. При этом известно, что двое конкретных юношей обязательно войдут в состав команды. Это означает, что 2 места в команде уже заняты, и выбирать этих двух игроков не нужно.

Следовательно, тренеру остается выбрать оставшихся игроков на оставшиеся места в команде.

1. Определим количество оставшихся свободных мест в команде. Поскольку в команде должно быть 5 игроков, а 2 уже определены, то свободных мест остается: $5 - 2 = 3$ места.

2. Определим количество юношей, из которых нужно делать выбор. Так как из 14 юношей двое уже включены в команду, то выбирать нужно из оставшихся: $14 - 2 = 12$ юношей.

Таким образом, задача сводится к тому, чтобы найти, сколькими способами можно выбрать 3 игроков из 12 оставшихся кандидатов. Поскольку порядок выбора игроков для формирования команды не важен, мы имеем дело с сочетаниями.

Число сочетаний из $n$ элементов по $k$ вычисляется по формуле: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае $n = 12$ (количество оставшихся кандидатов), а $k = 3$ (количество свободных мест). Подставляем эти значения в формулу: $C_{12}^3 = \frac{12!}{3!(12-3)!} = \frac{12!}{3!9!}$

Распишем факториалы и проведем вычисления: $C_{12}^3 = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9!}{3 \times 2 \times 1 \times 9!} = \frac{12 \times 11 \times 10}{6} = 2 \times 11 \times 10 = 220$

Следовательно, существует 220 способов составить команду при заданных условиях.

Ответ: 220.

4.21. Сколько параллелограммов образовалось при пересечении $n$ параллельных прямых с другими $m$ параллельными прямыми?

Для того чтобы образовался параллелограмм, необходимо выбрать две параллельные прямые из первого семейства ($n$ прямых) и две параллельные прямые из второго семейства ($m$ прямых). Пересечение этих четырех прямых формирует один уникальный параллелограмм.

Представим себе такую ситуацию наглядно:

Таким образом, задача сводится к комбинаторному подсчету количества способов выбрать две прямые из $n$ и две прямые из $m$.

Число способов выбрать 2 прямые из $n$ доступных параллельных прямых — это число сочетаний из $n$ по 2. Оно вычисляется по формуле:$C_n^2 = \binom{n}{2} = \frac{n!}{2!(n-2)!} = \frac{n(n-1)}{2}$

Аналогично, число способов выбрать 2 прямые из $m$ доступных параллельных прямых равно:$C_m^2 = \binom{m}{2} = \frac{m!}{2!(m-2)!} = \frac{m(m-1)}{2}$

Согласно основному правилу комбинаторики (правилу произведения), общее количество способов сформировать параллелограмм равно произведению числа способов выбора прямых из каждого семейства.

Общее количество параллелограммов $N$ равно:$N = C_n^2 \times C_m^2 = \frac{n(n-1)}{2} \times \frac{m(m-1)}{2} = \frac{n(n-1)m(m-1)}{4}$

Ответ: $\frac{n(n-1)m(m-1)}{4}$

4.22. На книжной полке имеются 8 учебников по математике и 5 учебников по физике. Сколькими способами можно выбрать 3 учебника по математике и 2 учебника по физике?

Для решения данной задачи необходимо использовать принципы комбинаторики. Поскольку выбор учебников по математике и выбор учебников по физике являются независимыми событиями, общее количество способов можно найти, перемножив количество способов для каждого выбора (правило произведения). Порядок, в котором выбираются учебники, не имеет значения, поэтому мы будем использовать формулу для числа сочетаний.

1. Найдём количество способов выбрать 3 учебника по математике.
У нас есть 8 учебников по математике, и нам нужно выбрать 3 из них. Количество сочетаний из $n$ элементов по $k$ вычисляется по формуле:
$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
В данном случае $n=8$ и $k=3$.
$C_8^3 = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 5!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{6} = 56$ способов.

2. Найдём количество способов выбрать 2 учебника по физике.
У нас есть 5 учебников по физике, и нам нужно выбрать 2 из них. Здесь $n=5$ и $k=2$.
$C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{2 \cdot 1 \cdot 3!} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10$ способов.

3. Найдём общее количество способов.
Чтобы найти общее число способов, нужно перемножить количество способов выбора учебников по математике и количество способов выбора учебников по физике:
$N = C_8^3 \cdot C_5^2 = 56 \cdot 10 = 560$ способов.

Ответ: 560.

4.23. Сколькими способами можно разместить 8 человек в 2 легковых автомобилях так, чтобы в каждом из них находились не менее 3 человек?

Для решения задачи определим возможные варианты распределения 8 человек по 2 автомобилям при условии, что в каждом автомобиле должно быть не менее 3 человек. Предполагается, что и люди, и автомобили различимы. Пусть $n_1$ и $n_2$ – количество человек в первом и втором автомобиле соответственно.

Имеем систему условий:
$n_1 + n_2 = 8$
$n_1 \ge 3$
$n_2 \ge 3$

Этой системе удовлетворяют следующие пары $(n_1, n_2)$: $(3, 5)$, $(4, 4)$ и $(5, 3)$. Поскольку автомобили различимы (например, Автомобиль 1 и Автомобиль 2), варианты $(3, 5)$ и $(5, 3)$ являются разными. Рассчитаем количество способов для каждого из этих вариантов, используя формулу числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Для варианта (3, 5), необходимо выбрать 3 человека из 8 для первого автомобиля. Это можно сделать $C_8^3$ способами. Оставшиеся 5 человек однозначно отправляются во второй автомобиль.
Число способов: $C_8^3 = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 56$.

Для варианта (4, 4), необходимо выбрать 4 человека из 8 для первого автомобиля. Это можно сделать $C_8^4$ способами. Оставшиеся 4 человека отправляются во второй.
Число способов: $C_8^4 = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 70$.

Для варианта (5, 3), необходимо выбрать 5 человек из 8 для первого автомобиля. Это можно сделать $C_8^5$ способами. Оставшиеся 3 человека отправляются во второй.
Число способов: $C_8^5 = \frac{8!}{5!(8-5)!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 56$.

Общее количество способов является суммой способов для всех взаимоисключающих вариантов.
Всего способов = $56 + 70 + 56 = 182$.

Ответ: 182.

4.24. Сколькими способами можно выбрать 2 согласные и 1 гласную буквы из слова логарифм?

Чтобы решить эту задачу, необходимо применить методы комбинаторики. Задача состоит из двух независимых частей: выбор согласных букв и выбор гласных букв.

1. Анализ слова. Слово «логарифм» состоит из 8 букв. Сначала определим, какие из них гласные, а какие согласные. Все буквы в слове уникальны.

• Согласные буквы: л, г, р, ф, м (всего 5 согласных).
• Гласные буквы: о, а, и (всего 3 гласных).

2. Выбор согласных букв. Нужно выбрать 2 согласные буквы из 5 имеющихся. Поскольку порядок выбора не важен, мы используем формулу для числа сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$, где $n$ - общее число элементов, а $k$ - число выбираемых элементов.

Количество способов выбрать 2 согласные из 5: $C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{3! \times 4 \times 5}{2! \times 3!} = \frac{4 \times 5}{2 \times 1} = \frac{20}{2} = 10$ способов.

3. Выбор гласной буквы. Нужно выбрать 1 гласную букву из 3 имеющихся.

Количество способов выбрать 1 гласную из 3: $C_3^1 = \frac{3!}{1!(3-1)!} = \frac{3!}{1!2!} = \frac{2! \times 3}{1 \times 2!} = 3$ способа.

4. Общее количество способов. Чтобы найти общее количество способов, нужно перемножить количество способов выбора согласных и количество способов выбора гласных (по правилу произведения в комбинаторике).

Общее число способов = $C_5^2 \times C_3^1 = 10 \times 3 = 30$.

Ответ: 30

4.25. Найдите количество всех возможных перестановок букв в слове логарифм.

Задача заключается в том, чтобы найти число перестановок букв в слове "логарифм". Перестановка — это упорядоченный набор элементов. В данном случае элементами являются буквы слова.

1. Сначала посчитаем количество букв в слове "логарифм". Слово состоит из букв: л, о, г, а, р, и, ф, м. Всего в слове 8 букв.

2. Далее проверим, есть ли в слове повторяющиеся буквы. В слове "логарифм" все буквы уникальны, то есть каждая буква встречается только один раз.

3. Поскольку все буквы различны, количество всех возможных перестановок можно найти по формуле числа перестановок для $n$ различных элементов, которая вычисляется как факториал числа $n$:

$P_n = n!$

В нашем случае количество букв $n = 8$. Следовательно, нам нужно вычислить $8!$ (восемь факториал).

4. Выполним вычисление факториала:

$P_8 = 8! = 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$

$8! = 56 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$

$8! = 336 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$

$8! = 1680 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$

$8! = 6720 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$

$8! = 20160 \cdot 2 \cdot 1$

$8! = 40320 \cdot 1$

$8! = 40320$

Таким образом, существует 40320 способов переставить буквы в слове "логарифм".

Ответ: 40320.

4.26. Очки на костях игры домино выражаются цифрами 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Сколько различных костей потребуется для этой игры?

В задаче требуется найти общее количество различных костей домино, которые можно составить, используя для обозначения очков цифры от 0 до 9. Таким образом, у нас есть набор из $n=10$ различных цифр: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

Каждая кость домино представляет собой пару чисел, выбранных из этого набора. Важными условиями являются:
1. Порядок чисел на кости не имеет значения, то есть кость (a, b) идентична кости (b, a).
2. Числа на кости могут повторяться, образуя "дубли", например, (5, 5).

Эта задача является классической задачей комбинаторики на нахождение числа сочетаний с повторениями. Мы выбираем $k=2$ элемента (числа для двух половинок кости) из множества мощностью $n=10$ (доступные цифры), причем выборка неупорядоченная и с возвращением.

Число сочетаний с повторениями из $n$ по $k$ вычисляется по формуле:
$\bar{C}_n^k = \binom{n+k-1}{k}$

Подставим наши значения $n=10$ и $k=2$:
$\bar{C}_{10}^2 = \binom{10+2-1}{2} = \binom{11}{2} = \frac{11!}{2!(11-2)!} = \frac{11!}{2!9!} = \frac{11 \times 10}{2 \times 1} = \frac{110}{2} = 55$

Альтернативный способ решения:

Можно посчитать количество костей, разделив их на два типа:
1. Кости-дубли, где на обеих половинках одинаковое число очков. Это кости (0,0), (1,1), (2,2), ..., (9,9). Всего таких костей 10.
2. Кости с различными числами очков. Для их подсчета нужно найти количество способов выбрать 2 разных числа из 10 без учета порядка. Это число сочетаний без повторений из 10 по 2:
$C_{10}^2 = \binom{10}{2} = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10 \times 9}{2} = 45$.

Сложив количество дублей и костей с разными числами, получим общее количество:
$10 + 45 = 55$.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 55.

4.27. Сколькими способами можно распределить $3n$ вещей между тремя людьми так, чтобы каждый из них получил ровно $n$ вещей?

Это задача на комбинаторику, связанная с разделением множества на упорядоченные подмножества. У нас есть $3n$ различных вещей и 3 различных человека. Каждому человеку нужно дать ровно $n$ вещей. Решим задачу последовательно.
Шаг 1: Выбор вещей для первого человека.Нужно выбрать $n$ вещей из $3n$. Количество способов это сделать определяется числом сочетаний из $3n$ по $n$:$C_{3n}^n = \binom{3n}{n} = \frac{(3n)!}{n!(3n-n)!} = \frac{(3n)!}{n!(2n)!}$
Шаг 2: Выбор вещей для второго человека.После того, как первый человек получил свои $n$ вещей, осталось $3n - n = 2n$ вещей. Из них нужно выбрать $n$ вещей для второго человека. Количество способов:$C_{2n}^n = \binom{2n}{n} = \frac{(2n)!}{n!(2n-n)!} = \frac{(2n)!}{n!n!}$
Шаг 3: Выбор вещей для третьего человека.Осталось $2n - n = n$ вещей. Третий человек получает все эти $n$ вещей. Это можно сделать только одним способом:$C_n^n = \binom{n}{n} = \frac{n!}{n!(n-n)!} = \frac{n!}{n!0!} = 1$
По правилу произведения, общее число способов распределения равно произведению числа способов на каждом шаге. Перемножим полученные значения:$N = C_{3n}^n \cdot C_{2n}^n \cdot C_n^n = \frac{(3n)!}{n!(2n)!} \cdot \frac{(2n)!}{n!n!} \cdot 1$
Сокращая $(2n)!$ в числителе и знаменателе, получаем окончательную формулу:$N = \frac{(3n)!}{n!n!n!} = \frac{(3n)!}{(n!)^3}$
Это выражение является полиномиальным коэффициентом, который используется для вычисления числа упорядоченных разбиений множества.
Ответ: $\frac{(3n)!}{(n!)^3}$

4.28. В магазине имеются 11 видов офисной мебели. Сколькими способами можно приобрести в офис 6 предметов мебели одного или нескольких видов?

В данной задаче нам нужно найти количество способов выбрать 6 предметов мебели из 11 доступных видов. Поскольку порядок выбора не имеет значения, и мы можем приобретать несколько предметов одного и того же вида, эта задача решается с помощью формулы для сочетаний с повторениями.

Формула для числа сочетаний с повторениями из $n$ по $k$ выглядит следующим образом:

$\bar{C}_n^k = C_{n+k-1}^k = \frac{(n+k-1)!}{k!(n-1)!}$

В условиях нашей задачи:
$n = 11$ (количество видов мебели).
$k = 6$ (количество предметов, которые нужно купить).

Подставим эти значения в формулу:

$\bar{C}_{11}^6 = C_{11+6-1}^6 = C_{16}^6$

Теперь вычислим значение этого выражения:

$C_{16}^6 = \frac{16!}{6!(16-6)!} = \frac{16!}{6!10!} = \frac{16 \times 15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}$

Для удобства вычислений сократим дробь:
$C_{16}^6 = \frac{16 \times 15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2}$
Сокращаем 12 в числителе с $6 \times 2$ в знаменателе:
$C_{16}^6 = \frac{16 \times 15 \times 14 \times 13 \times 11}{5 \times 4 \times 3}$
Сокращаем 15 в числителе с $5 \times 3$ в знаменателе:
$C_{16}^6 = \frac{16 \times 14 \times 13 \times 11}{4}$
Сокращаем 16 с 4:
$C_{16}^6 = 4 \times 14 \times 13 \times 11$

Теперь перемножим оставшиеся числа:

$4 \times 14 = 56$
$56 \times 13 = 728$
$728 \times 11 = 8008$

Следовательно, существует 8008 способов приобрести 6 предметов мебели.

Ответ: 8008

4.29. Мать решила давать сыну ежедневно по одному фрукту из имеющихся у нее 4 яблок, 3 груш и 2 персиков. Сколькими способами она может это сделать?

Эта задача решается с помощью формулы для перестановок с повторениями. Мать будет выдавать по одному фрукту в день, пока они не закончатся. Общее количество дней равно общему количеству фруктов.

Сначала найдем общее количество фруктов:

$n = 4 \text{ яблока} + 3 \text{ груши} + 2 \text{ персика} = 9 \text{ фруктов}$

Таким образом, у нас есть 9 дней, и каждый день нужно выбрать один из фруктов. Если бы все фрукты были различными, то количество способов было бы $9!$. Однако у нас есть группы одинаковых фруктов (4 яблока, 3 груши, 2 персика), поэтому мы должны учесть это в расчетах.

Порядок, в котором выдаются фрукты, имеет значение. Например, последовательность "яблоко, груша, ..." отличается от "груша, яблоко, ...". Нам нужно найти количество всех возможных уникальных последовательностей из 9 фруктов.

Формула для числа перестановок с повторениями имеет вид:

$P_n(n_1, n_2, \dots, n_k) = \frac{n!}{n_1! n_2! \dots n_k!}$

где $n$ — общее количество элементов, а $n_1, n_2, \dots, n_k$ — количество элементов в каждой группе одинаковых элементов.

В нашем случае:

$n = 9$ (общее количество фруктов)

$n_1 = 4$ (количество яблок)

$n_2 = 3$ (количество груш)

$n_3 = 2$ (количество персиков)

Подставим значения в формулу:

$N = \frac{9!}{4! \cdot 3! \cdot 2!}$

Теперь вычислим значение этого выражения:

$N = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4!}{4! \times (3 \times 2 \times 1) \times (2 \times 1)}$

Сократим $4!$ в числителе и знаменателе:

$N = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5}{(3 \times 2 \times 1) \times (2 \times 1)} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5}{6 \times 2}$

Сократим 6:

$N = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 5}{2}$

Сократим 8 и 2:

$N = 9 \times 4 \times 7 \times 5$

Выполним умножение:

$N = 36 \times 35 = 1260$

Таким образом, существует 1260 способов, которыми мать может выдавать фрукты.

Ответ: 1260.

4.30. Сколько различных слагаемых имеются в разложении мно-гочлена:

1) $(x + y + z)^3;$

2) $(x + y + z)^4?$

Для определения количества различных слагаемых в разложении многочлена используется комбинаторный подход. Каждый член в разложении $(x + y + z)^n$ имеет вид $C \cdot x^{k_1} y^{k_2} z^{k_3}$, где $k_1, k_2, k_3$ — это целые неотрицательные числа, сумма которых равна $n$: $k_1 + k_2 + k_3 = n$.

Число различных слагаемых равно количеству различных наборов показателей степеней $(k_1, k_2, k_3)$. Эта задача эквивалентна нахождению числа сочетаний с повторениями из $m=3$ элементов (переменных $x, y, z$) по $n$ (степень многочлена). Формула для числа сочетаний с повторениями: $\bar{C}_m^n = C_{n+m-1}^{m-1}$.

1) Для многочлена $(x + y + z)^3$ имеем степень $n=3$ и число переменных $m=3$.
Количество различных слагаемых равно:
$C_{3+3-1}^{3-1} = C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10$.
Ответ: 10

2) Для многочлена $(x + y + z)^4$ имеем степень $n=4$ и число переменных $m=3$.
Количество различных слагаемых равно:
$C_{4+3-1}^{3-1} = C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15$.
Ответ: 15

4.31. Сколькими способами можно распределить 12 учебников поровну между 4 учениками?

Эта задача решается с помощью методов комбинаторики. Предполагается, что все 12 учебников различны, и 4 ученика также различны (что обычно подразумевается в таких задачах). По условию, учебники нужно распределить "поровну", следовательно, каждый ученик должен получить $12 \div 4 = 3$ учебника.

Рассмотрим процесс распределения учебников по шагам, последовательно выдавая их каждому ученику.

Шаг 1: Выбираем 3 учебника для первого ученика. Порядок выбора книг для одного ученика не важен, поэтому используем формулу для числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$. Количество способов выбрать 3 учебника из 12 равно: $C_{12}^3 = \frac{12!}{3!(12-3)!} = \frac{12!}{3!9!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 220$.

Шаг 2: После того как первый ученик получил свои книги, осталось 9 учебников. Выбираем 3 учебника для второго ученика из оставшихся 9. $C_9^3 = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9!}{3!6!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 84$.

Шаг 3: Теперь осталось 6 учебников. Выбираем 3 из них для третьего ученика. $C_6^3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20$.

Шаг 4: Оставшиеся 3 учебника получает четвертый ученик. Это можно сделать только одним способом. $C_3^3 = \frac{3!}{3!(3-3)!} = \frac{3!}{3!0!} = 1$.

Согласно правилу произведения в комбинаторике, общее число способов распределения равно произведению числа способов на каждом шаге: $N = C_{12}^3 \cdot C_9^3 \cdot C_6^3 \cdot C_3^3 = 220 \cdot 84 \cdot 20 \cdot 1 = 369600$.

Альтернативный подход — использование мультиномиального коэффициента, который описывает число способов разбить множество из $n$ элементов на $k$ упорядоченных групп с размерами $n_1, n_2, \ldots, n_k$: $N = \binom{n}{n_1, n_2, \ldots, n_k} = \frac{n!}{n_1! n_2! \ldots n_k!}$.

В нашем случае $n=12$, и у нас 4 группы (ученика) по $n_1=n_2=n_3=n_4=3$ элемента (учебника) в каждой. $N = \binom{12}{3, 3, 3, 3} = \frac{12!}{3! \cdot 3! \cdot 3! \cdot 3!} = \frac{12!}{(3!)^4} = \frac{479001600}{6^4} = \frac{479001600}{1296} = 369600$.

Ответ: 369600.

4.32. Если A означает сумму членов, стоящих на нечетных местах, а B – сумму членов, стоящих на нечетных местах в разложении $(a + b)^n$, то $A^2 - B^2 = (a^2 - b^2)^n$. Докажите.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся формулой бинома Ньютона.
Разложение $(a+b)^n$ имеет вид:
$(a+b)^n = C_n^0 a^n b^0 + C_n^1 a^{n-1}b^1 + C_n^2 a^{n-2}b^2 + C_n^3 a^{n-3}b^3 + \dots + C_n^n a^0b^n$
где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — биномиальные коэффициенты.
Члены этого разложения нумеруются по порядку, начиная с 1. Член с номером $k+1$ соответствует $k$-тому слагаемому в сумме (где $k$ начинается с 0).

По условию, $A$ — это сумма членов, стоящих на нечетных местах (1-м, 3-м, 5-м, ...). Этим местам соответствуют четные значения индекса $k$ (т.е. $k=0, 2, 4, \dots$).
$A = C_n^0 a^n b^0 + C_n^2 a^{n-2}b^2 + C_n^4 a^{n-4}b^4 + \dots$

$B$ — это сумма членов, стоящих на четных местах (2-м, 4-м, 6-м, ...). Этим местам соответствуют нечетные значения индекса $k$ (т.е. $k=1, 3, 5, \dots$).
$B = C_n^1 a^{n-1}b^1 + C_n^3 a^{n-3}b^3 + C_n^5 a^{n-5}b^5 + \dots$

Из определений $A$ и $B$ следует, что их сумма представляет собой полное разложение бинома $(a+b)^n$:
$A + B = (a+b)^n$.

Теперь рассмотрим разложение $(a-b)^n$ по той же формуле бинома Ньютона:
$(a-b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k}(-b)^k = C_n^0 a^n b^0 - C_n^1 a^{n-1}b^1 + C_n^2 a^{n-2}b^2 - C_n^3 a^{n-3}b^3 + \dots$
В этом разложении знаки членов чередуются. Члены, соответствующие четным $k$ (на нечетных местах), имеют положительный знак, а члены, соответствующие нечетным $k$ (на четных местах), имеют отрицательный знак. Таким образом, это разложение можно записать как разность $A$ и $B$:
$A - B = (a-b)^n$.

В результате мы получили систему из двух уравнений:
1) $A + B = (a+b)^n$
2) $A - B = (a-b)^n$

Перемножим левые и правые части этих уравнений друг на друга:
$(A+B)(A-B) = (a+b)^n(a-b)^n$

Используя формулу разности квадратов для левой части $ (x+y)(x-y) = x^2 - y^2 $ и свойство степеней $x^n y^n = (xy)^n$ для правой части, получаем:
$A^2 - B^2 = ((a+b)(a-b))^n$

Снова применив формулу разности квадратов к выражению $(a+b)(a-b)$ в правой части, приходим к доказываемому тождеству:
$A^2 - B^2 = (a^2 - b^2)^n$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество $A^2 - B^2 = (a^2 - b^2)^n$ доказано.