Номер 4.31, страница 112 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.31. Сколькими способами можно распределить 12 учебников поровну между 4 учениками?

Эта задача решается с помощью методов комбинаторики. Предполагается, что все 12 учебников различны, и 4 ученика также различны (что обычно подразумевается в таких задачах). По условию, учебники нужно распределить "поровну", следовательно, каждый ученик должен получить $12 \div 4 = 3$ учебника.

Рассмотрим процесс распределения учебников по шагам, последовательно выдавая их каждому ученику.

Шаг 1: Выбираем 3 учебника для первого ученика. Порядок выбора книг для одного ученика не важен, поэтому используем формулу для числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$. Количество способов выбрать 3 учебника из 12 равно: $C_{12}^3 = \frac{12!}{3!(12-3)!} = \frac{12!}{3!9!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 220$.

Шаг 2: После того как первый ученик получил свои книги, осталось 9 учебников. Выбираем 3 учебника для второго ученика из оставшихся 9. $C_9^3 = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9!}{3!6!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 84$.

Шаг 3: Теперь осталось 6 учебников. Выбираем 3 из них для третьего ученика. $C_6^3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20$.

Шаг 4: Оставшиеся 3 учебника получает четвертый ученик. Это можно сделать только одним способом. $C_3^3 = \frac{3!}{3!(3-3)!} = \frac{3!}{3!0!} = 1$.

Согласно правилу произведения в комбинаторике, общее число способов распределения равно произведению числа способов на каждом шаге: $N = C_{12}^3 \cdot C_9^3 \cdot C_6^3 \cdot C_3^3 = 220 \cdot 84 \cdot 20 \cdot 1 = 369600$.

Альтернативный подход — использование мультиномиального коэффициента, который описывает число способов разбить множество из $n$ элементов на $k$ упорядоченных групп с размерами $n_1, n_2, \ldots, n_k$: $N = \binom{n}{n_1, n_2, \ldots, n_k} = \frac{n!}{n_1! n_2! \ldots n_k!}$.

В нашем случае $n=12$, и у нас 4 группы (ученика) по $n_1=n_2=n_3=n_4=3$ элемента (учебника) в каждой. $N = \binom{12}{3, 3, 3, 3} = \frac{12!}{3! \cdot 3! \cdot 3! \cdot 3!} = \frac{12!}{(3!)^4} = \frac{479001600}{6^4} = \frac{479001600}{1296} = 369600$.

Ответ: 369600.