gdz.top
Номер 4.35, страница 113 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков
Авторы: Шыныбеков А. Н., Шыныбеков Д. А., Жумабаев Р. Н.
Тип: Учебник
Издательство: Атамұра
Год издания: 2019 - 2025
Цвет обложки:
ISBN: 978-601-331-522-5
Рекомендовано Министерством образования и науки Республики Казахстан
Популярные ГДЗ в 10 классе
Раздел 4. Вероятность. 4.1. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона - номер 4.35, страница 113.
№4.34
№4.35 (с. 113)
Учебник рус. №4.35 (с. 113)
4.35. Найдите члены, не содержащие $a$, в разложении выражения $\left[(1+a)\left(1+\frac{1}{a}\right)\right]^n$.
Учебник кз. №4.35 (с. 113)
Решение. №4.35 (с. 113)
Решение 2 (rus). №4.35 (с. 113)
Для нахождения членов разложения, не содержащих переменной a, мы сначала упростим выражение, стоящее в основании степени.
Преобразуем выражение в скобках:
$(1 + a)(1 + \frac{1}{a}) = (1 + a) \cdot \frac{a + 1}{a} = \frac{(1 + a)^2}{a}$
Теперь исходное выражение можно записать в следующем виде:
$[\frac{(1 + a)^2}{a}]^n = \frac{((1 + a)^2)^n}{a^n} = \frac{(1 + a)^{2n}}{a^n} = a^{-n}(1 + a)^{2n}$
Далее воспользуемся формулой бинома Ньютона для разложения $(1 + a)^{2n}$. Общая формула бинома Ньютона выглядит так:
$(x + y)^m = \sum_{k=0}^{m} C_{m}^{k} x^{m-k}y^{k}$
Применяя эту формулу к нашему случаю, где $x=1$, $y=a$ и $m=2n$, получаем:
$(1 + a)^{2n} = \sum_{k=0}^{2n} C_{2n}^{k} 1^{2n-k}a^{k} = \sum_{k=0}^{2n} C_{2n}^{k} a^{k}$
Теперь подставим это разложение обратно в наше выражение:
$a^{-n}(1 + a)^{2n} = a^{-n} \sum_{k=0}^{2n} C_{2n}^{k} a^{k} = \sum_{k=0}^{2n} C_{2n}^{k} a^{k}a^{-n} = \sum_{k=0}^{2n} C_{2n}^{k} a^{k-n}$
Мы ищем члены, не содержащие a. Это означает, что показатель степени переменной a должен быть равен нулю. Исходя из общего вида члена разложения $C_{2n}^{k} a^{k-n}$, получаем условие:
$k - n = 0 \Rightarrow k = n$
Поскольку $n$ является натуральным числом, условие $0 \le k \le 2n$ для $k=n$ всегда выполняется. Это означает, что в разложении всегда будет один член, не зависящий от a.
Чтобы найти этот член, подставим значение $k=n$ в формулу для общего члена разложения:
$C_{2n}^{n} a^{n-n} = C_{2n}^{n} a^{0} = C_{2n}^{n}$
Значение этого биномиального коэффициента равно:
$C_{2n}^{n} = \frac{(2n)!}{n!(2n-n)!} = \frac{(2n)!}{n!n!} = \frac{(2n)!}{(n!)^2}$
Таким образом, в разложении исходного выражения есть только один член, который не содержит a.
Ответ: Член, не содержащий a, равен $C_{2n}^{n} = \frac{(2n)!}{(n!)^2}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 4.35 расположенного на странице 113 к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №4.35 (с. 113), авторов: Шыныбеков (Абдухали Насырович), Шыныбеков (Данияр Абдухалиевич), Жумабаев (Ринат Нурланович), учебного пособия издательства Атамұра.