Номер 4.29, страница 112 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.29. Мать решила давать сыну ежедневно по одному фрукту из имеющихся у нее 4 яблок, 3 груш и 2 персиков. Сколькими способами она может это сделать?

Эта задача решается с помощью формулы для перестановок с повторениями. Мать будет выдавать по одному фрукту в день, пока они не закончатся. Общее количество дней равно общему количеству фруктов.

Сначала найдем общее количество фруктов:

$n = 4 \text{ яблока} + 3 \text{ груши} + 2 \text{ персика} = 9 \text{ фруктов}$

Таким образом, у нас есть 9 дней, и каждый день нужно выбрать один из фруктов. Если бы все фрукты были различными, то количество способов было бы $9!$. Однако у нас есть группы одинаковых фруктов (4 яблока, 3 груши, 2 персика), поэтому мы должны учесть это в расчетах.

Порядок, в котором выдаются фрукты, имеет значение. Например, последовательность "яблоко, груша, ..." отличается от "груша, яблоко, ...". Нам нужно найти количество всех возможных уникальных последовательностей из 9 фруктов.

Формула для числа перестановок с повторениями имеет вид:

$P_n(n_1, n_2, \dots, n_k) = \frac{n!}{n_1! n_2! \dots n_k!}$

где $n$ — общее количество элементов, а $n_1, n_2, \dots, n_k$ — количество элементов в каждой группе одинаковых элементов.

В нашем случае:

$n = 9$ (общее количество фруктов)

$n_1 = 4$ (количество яблок)

$n_2 = 3$ (количество груш)

$n_3 = 2$ (количество персиков)

Подставим значения в формулу:

$N = \frac{9!}{4! \cdot 3! \cdot 2!}$

Теперь вычислим значение этого выражения:

$N = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4!}{4! \times (3 \times 2 \times 1) \times (2 \times 1)}$

Сократим $4!$ в числителе и знаменателе:

$N = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5}{(3 \times 2 \times 1) \times (2 \times 1)} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5}{6 \times 2}$

Сократим 6:

$N = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 5}{2}$

Сократим 8 и 2:

$N = 9 \times 4 \times 7 \times 5$

Выполним умножение:

$N = 36 \times 35 = 1260$

Таким образом, существует 1260 способов, которыми мать может выдавать фрукты.

Ответ: 1260.