Номер 4.34, страница 113 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.34. Найдите наибольший коэффициент в разложении бинома $\left[(1+x)\left(\frac{1}{x}-1\right)\right]^n$.

Решение

Сначала упростим выражение в основании степени. Для этого раскроем скобки:

$(1+x)(\frac{1}{x}-1) = (1+x)\frac{1-x}{x} = \frac{(1+x)(1-x)}{x} = \frac{1-x^2}{x} = \frac{1}{x} - x$

Таким образом, задача сводится к нахождению наибольшего коэффициента в разложении бинома $(\frac{1}{x} - x)^n$.

Воспользуемся формулой бинома Ньютона: $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k$.

В нашем случае $a=\frac{1}{x}$ и $b=-x$. Общий $(k+1)$-й член разложения ($T_{k+1}$) имеет вид:

$T_{k+1} = C_n^k \left(\frac{1}{x}\right)^{n-k} (-x)^k = C_n^k x^{k-n} (-1)^k x^k = (-1)^k C_n^k x^{2k-n}$

Коэффициенты в этом разложении равны $a_k = (-1)^k C_n^k$, где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — биномиальные коэффициенты, и $k$ принимает значения от $0$ до $n$.

Мы ищем наибольший (максимальный по значению, а не по модулю) коэффициент. Он должен быть положительным, что возможно только если множитель $(-1)^k$ равен $1$. Это условие выполняется для всех четных значений $k$.

Следовательно, нам нужно найти максимальное значение среди коэффициентов $C_n^k$ для всех четных $k$ из множества $\{0, 1, 2, \ldots, n\}$.

Известно, что последовательность биномиальных коэффициентов $C_n^k$ симметрична относительно $k=n/2$ и достигает своего максимума в центре. Таким образом, нам нужно найти четное число $k$, которое является ближайшим к $n/2$.

Рассмотрим четыре случая в зависимости от остатка от деления $n$ на 4.

1. Если $n = 4m$ (т.е. $n$ делится на 4), то $n/2 = 2m$. Это значение является четным числом. Следовательно, ближайшее к $n/2$ четное $k$ равно $n/2$. Наибольший коэффициент равен $C_n^{n/2}$.

2. Если $n = 4m+1$, то $n/2 = 2m + 1/2$. Ближайшими целыми к $n/2$ являются $2m$ и $2m+1$. Из них четным является $k=2m = (n-1)/2$. Наибольший коэффициент равен $C_n^{(n-1)/2}$.

3. Если $n = 4m+2$, то $n/2 = 2m+1$. Это значение является нечетным числом. Ближайшими четными к $n/2$ являются $k_1 = 2m$ и $k_2 = 2m+2$. Они равноудалены от центра $n/2$. Значения коэффициентов для них равны: $C_n^{2m} = C_n^{n-(2m)} = C_n^{4m+2-2m} = C_n^{2m+2}$. Таким образом, наибольший коэффициент равен $C_n^{2m} = C_n^{n/2-1}$.

4. Если $n = 4m+3$, то $n/2 = 2m+3/2$. Ближайшими целыми к $n/2$ являются $2m+1$ и $2m+2$. Из них четным является $k=2m+2 = (n+1)/2$. Наибольший коэффициент равен $C_n^{(n+1)/2}$.

Ответ: Наибольший коэффициент в разложении равен:

• $C_n^{n/2}$, если $n$ кратно 4;
• $C_n^{(n-1)/2}$, если $n$ дает остаток 1 при делении на 4;
• $C_n^{n/2-1}$, если $n$ дает остаток 2 при делении на 4;
• $C_n^{(n+1)/2}$, если $n$ дает остаток 3 при делении на 4.

Здесь $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — биномиальный коэффициент.