gdz.top
Номер 4.38, страница 113 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков
Авторы: Шыныбеков А. Н., Шыныбеков Д. А., Жумабаев Р. Н.
Тип: Учебник
Издательство: Атамұра
Год издания: 2019 - 2025
Цвет обложки:
ISBN: 978-601-331-522-5
Рекомендовано Министерством образования и науки Республики Казахстан
Популярные ГДЗ в 10 классе
Раздел 4. Вероятность. 4.1. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона - номер 4.38, страница 113.
№4.37
№4.38 (с. 113)
Учебник рус. №4.38 (с. 113)
4.38. При каких условиях разложения бинома $(3a + \frac{1}{2a})^n$ имеет слагаемое, не зависящее от $a$?
Учебник кз. №4.38 (с. 113)
Решение. №4.38 (с. 113)
Решение 2 (rus). №4.38 (с. 113)
Для нахождения условия, при котором разложение бинома имеет слагаемое, не зависящее от $a$, воспользуемся формулой общего члена разложения бинома Ньютона. Общий $(k+1)$-й член разложения $(x+y)^n$ имеет вид:
$T_{k+1} = \binom{n}{k} x^{n-k} y^k$
В данном случае бином имеет вид $\left(3a + \frac{1}{2a}\right)^n$, где $x = 3a$ и $y = \frac{1}{2a}$. Подставим эти значения в формулу общего члена:
$T_{k+1} = \binom{n}{k} (3a)^{n-k} \left(\frac{1}{2a}\right)^k$
Теперь преобразуем это выражение, чтобы выделить степень переменной $a$:
$T_{k+1} = \binom{n}{k} \cdot 3^{n-k} \cdot a^{n-k} \cdot \frac{1}{2^k \cdot a^k} = \binom{n}{k} \frac{3^{n-k}}{2^k} \frac{a^{n-k}}{a^k}$
Используя свойство степеней $a^m/a^n = a^{m-n}$, получаем:
$T_{k+1} = \binom{n}{k} \frac{3^{n-k}}{2^k} a^{n-2k}$
Слагаемое не будет зависеть от $a$, если показатель степени при $a$ будет равен нулю. Следовательно, нам нужно найти такое значение $k$, при котором выполняется условие:
$n - 2k = 0$
Решим это уравнение относительно $k$:
$2k = n$
$k = \frac{n}{2}$
Согласно формуле бинома Ньютона, $k$ — это целое неотрицательное число ($k \in \{0, 1, 2, ...\}$), которое также должно удовлетворять неравенству $0 \le k \le n$.
Из уравнения $k = \frac{n}{2}$ следует, что для того, чтобы $k$ было целым числом, показатель степени $n$ должен быть делимым на 2, то есть $n$ должно быть четным числом. Так как $n$ является показателем степени бинома, оно по определению является неотрицательным целым числом.
Таким образом, разложение бинома будет иметь слагаемое, не зависящее от $a$, только в том случае, если показатель степени $n$ является четным неотрицательным числом.
Ответ: Показатель степени $n$ должен быть четным неотрицательным числом.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 4.38 расположенного на странице 113 к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №4.38 (с. 113), авторов: Шыныбеков (Абдухали Насырович), Шыныбеков (Данияр Абдухалиевич), Жумабаев (Ринат Нурланович), учебного пособия издательства Атамұра.