Номер 4.45, страница 113 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.45. Найдите коэффициент при $x^5$ в разложении выражения $(2 + + x + 3x^2)^6$.

Для нахождения коэффициента при $x^5$ в разложении выражения $(2 + x + 3x^2)^6$ воспользуемся формулой полиномиального разложения (полиномиальной теоремой), которая для трёх слагаемых имеет вид:
$(a+b+c)^n = \sum_{k_1+k_2+k_3=n} \frac{n!}{k_1!k_2!k_3!} a^{k_1} b^{k_2} c^{k_3}$
В нашем случае $a = 2$, $b = x$, $c = 3x^2$ и $n=6$. Общий член разложения имеет вид:
$\frac{6!}{k_1! k_2! k_3!} (2)^{k_1} (x)^{k_2} (3x^2)^{k_3}$
где $k_1, k_2, k_3$ — целые неотрицательные числа, удовлетворяющие условию $k_1 + k_2 + k_3 = 6$.
Упростим выражение для общего члена, сгруппировав степени $x$:
$\frac{6!}{k_1! k_2! k_3!} 2^{k_1} \cdot 3^{k_3} \cdot x^{k_2} \cdot (x^2)^{k_3} = \frac{6!}{k_1! k_2! k_3!} 2^{k_1} 3^{k_3} x^{k_2+2k_3}$
Мы ищем коэффициент при $x^5$, следовательно, нам нужно найти все наборы целых неотрицательных чисел $(k_1, k_2, k_3)$, для которых выполняются два условия:
1) $k_1 + k_2 + k_3 = 6$
2) $k_2 + 2k_3 = 5$
Рассмотрим второе уравнение. Так как $k_2$ и $k_3$ должны быть неотрицательными целыми числами, переберём возможные значения для $k_3$:
- Если $k_3 = 0$, то $k_2 = 5$. Подставив эти значения в первое уравнение, получим $k_1 = 6 - k_2 - k_3 = 6 - 5 - 0 = 1$. Это допустимый набор: $(k_1, k_2, k_3) = (1, 5, 0)$.
- Если $k_3 = 1$, то $k_2 = 5 - 2(1) = 3$. Тогда $k_1 = 6 - 3 - 1 = 2$. Это допустимый набор: $(k_1, k_2, k_3) = (2, 3, 1)$.
- Если $k_3 = 2$, то $k_2 = 5 - 2(2) = 1$. Тогда $k_1 = 6 - 1 - 2 = 3$. Это допустимый набор: $(k_1, k_2, k_3) = (3, 1, 2)$.
- Если $k_3 \ge 3$, то $2k_3 \ge 6$, и значение $k_2 = 5 - 2k_3$ будет отрицательным, что недопустимо.
Таким образом, есть три набора показателей степеней, которые дают член с $x^5$. Вычислим коэффициенты для каждого из этих случаев.
1. Для набора $(1, 5, 0)$:
Коэффициент равен $\frac{6!}{1! 5! 0!} \cdot 2^1 \cdot 3^0 = \frac{6}{1} \cdot 2 \cdot 1 = 12$.
2. Для набора $(2, 3, 1)$:
Коэффициент равен $\frac{6!}{2! 3! 1!} \cdot 2^2 \cdot 3^1 = \frac{720}{2 \cdot 6 \cdot 1} \cdot 4 \cdot 3 = 60 \cdot 12 = 720$.
3. Для набора $(3, 1, 2)$:
Коэффициент равен $\frac{6!}{3! 1! 2!} \cdot 2^3 \cdot 3^2 = \frac{720}{6 \cdot 1 \cdot 2} \cdot 8 \cdot 9 = 60 \cdot 72 = 4320$.
Итоговый коэффициент при $x^5$ является суммой коэффициентов, найденных для каждого случая:
$12 + 720 + 4320 = 5052$.
Ответ: 5052.