gdz.top
Номер 4.43, страница 113 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков
Авторы: Шыныбеков А. Н., Шыныбеков Д. А., Жумабаев Р. Н.
Тип: Учебник
Издательство: Атамұра
Год издания: 2019 - 2025
Цвет обложки:
ISBN: 978-601-331-522-5
Рекомендовано Министерством образования и науки Республики Казахстан
Популярные ГДЗ в 10 классе
Раздел 4. Вероятность. 4.1. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона - номер 4.43, страница 113.
№4.42
№4.43 (с. 113)
Учебник рус. №4.43 (с. 113)
4.43. Сколько целых неотрицательных решений имеет неравенство $x_1 + x_2 + ... + x_n \leq k$?
Учебник кз. №4.43 (с. 113)
Решение. №4.43 (с. 113)
Решение 2 (rus). №4.43 (с. 113)
Для нахождения количества целых неотрицательных решений неравенства $x_1 + x_2 + ... + x_n \le k$ используется метод введения дополнительной переменной, который позволяет свести неравенство к уравнению.
Введем новую неотрицательную целую переменную $x_{n+1}$ (называемую "слабой" или "остаточной" переменной) следующим образом:
$x_{n+1} = k - (x_1 + x_2 + ... + x_n)$
Поскольку по условию $x_1 + x_2 + ... + x_n \le k$, то переменная $x_{n+1}$ всегда будет неотрицательной ($x_{n+1} \ge 0$).
Теперь исходное неравенство можно переписать в виде эквивалентного уравнения:
$x_1 + x_2 + ... + x_n + x_{n+1} = k$
Любое решение исходного неравенства в неотрицательных целых числах $(x_1, ..., x_n)$ однозначно определяет неотрицательное целое $x_{n+1}$ и, следовательно, решение этого уравнения. И наоборот, любое решение этого уравнения в неотрицательных целых числах $(x_1, ..., x_{n+1})$ дает нам решение исходного неравенства $(x_1, ..., x_n)$, так как $x_1 + ... + x_n = k - x_{n+1} \le k$.
Таким образом, задача сводится к нахождению количества неотрицательных целых решений уравнения с $n+1$ переменной. Это классическая задача комбинаторики, решаемая с помощью формулы сочетаний с повторениями (также известная как "задача о шарах и перегородках"). Число решений уравнения вида $y_1 + ... + y_m = r$ в неотрицательных целых числах вычисляется по формуле:
$\binom{r+m-1}{m-1}$ или $\binom{r+m-1}{r}$
В нашем случае количество переменных $m = n+1$, а их сумма $r = k$. Подставляем эти значения в формулу:
Число решений = $\binom{k + (n+1) - 1}{(n+1)-1} = \binom{n+k}{n}$.
Эквивалентная форма записи ответа, основанная на выборе $k$ позиций для "шаров" вместо $n$ позиций для "перегородок", выглядит так: $\binom{n+k}{k}$.
Ответ: $\binom{n+k}{n}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 4.43 расположенного на странице 113 к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №4.43 (с. 113), авторов: Шыныбеков (Абдухали Насырович), Шыныбеков (Данияр Абдухалиевич), Жумабаев (Ринат Нурланович), учебного пособия издательства Атамұра.