Номер 4.36, страница 113 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.36. Сколькими способами можно разбить 30 учеников на подгруппы, по 10 учеников в каждой, для обучения их английскому, немецкому и французскому языкам?

Для решения этой задачи мы имеем 30 учеников, которых необходимо разделить на три группы по 10 человек в каждой. Важным условием является то, что группы не являются анонимными, а предназначены для изучения конкретных языков: английского, немецкого и французского. Это означает, что группы различимы, и, следовательно, важен порядок, в котором мы формируем эти группы (т.е. какую группу мы формируем первой, второй и т.д.).

Процесс разделения можно представить как последовательность выборов.

Сначала выберем 10 учеников для группы английского языка. Количество способов сделать это из 30 учеников равно числу сочетаний из 30 по 10, так как порядок учеников внутри группы не важен. Это количество вычисляется по формуле: $C_{30}^{10} = \frac{30!}{10!(30-10)!} = \frac{30!}{10!20!}$

После того, как первая группа сформирована, у нас остается $30 - 10 = 20$ учеников. Из них нужно выбрать 10 человек для группы немецкого языка. Количество способов для этого выбора: $C_{20}^{10} = \frac{20!}{10!(20-10)!} = \frac{20!}{10!10!}$

Оставшиеся 10 учеников автоматически образуют группу для изучения французского языка. Количество способов сформировать эту группу из оставшихся 10 учеников равно: $C_{10}^{10} = \frac{10!}{10!(10-10)!} = \frac{10!}{10!0!} = 1$

Поскольку выбор каждой группы является независимым событием, общее количество способов разбить всех учеников на три заданные группы находится путем перемножения числа способов на каждом этапе (согласно правилу произведения в комбинаторике): $N = C_{30}^{10} \times C_{20}^{10} \times C_{10}^{10} = \frac{30!}{10!20!} \times \frac{20!}{10!10!} \times 1$

Упростим полученное выражение, сократив $20!$ в числителе первого множителя и в знаменателе второго: $N = \frac{30!}{10! \cdot 10! \cdot 10!} = \frac{30!}{(10!)^3}$

Это и есть общее количество способов. Данная формула представляет собой мультиномиальный коэффициент, который используется для подсчета числа разбиений множества на несколько упорядоченных (различимых) подмножеств.

Ответ: $\frac{30!}{(10!)^3}$