Номер 4.32, страница 112 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.32. Если A означает сумму членов, стоящих на нечетных местах, а B – сумму членов, стоящих на нечетных местах в разложении $(a + b)^n$, то $A^2 - B^2 = (a^2 - b^2)^n$. Докажите.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся формулой бинома Ньютона.
Разложение $(a+b)^n$ имеет вид:
$(a+b)^n = C_n^0 a^n b^0 + C_n^1 a^{n-1}b^1 + C_n^2 a^{n-2}b^2 + C_n^3 a^{n-3}b^3 + \dots + C_n^n a^0b^n$
где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — биномиальные коэффициенты.
Члены этого разложения нумеруются по порядку, начиная с 1. Член с номером $k+1$ соответствует $k$-тому слагаемому в сумме (где $k$ начинается с 0).

По условию, $A$ — это сумма членов, стоящих на нечетных местах (1-м, 3-м, 5-м, ...). Этим местам соответствуют четные значения индекса $k$ (т.е. $k=0, 2, 4, \dots$).
$A = C_n^0 a^n b^0 + C_n^2 a^{n-2}b^2 + C_n^4 a^{n-4}b^4 + \dots$

$B$ — это сумма членов, стоящих на четных местах (2-м, 4-м, 6-м, ...). Этим местам соответствуют нечетные значения индекса $k$ (т.е. $k=1, 3, 5, \dots$).
$B = C_n^1 a^{n-1}b^1 + C_n^3 a^{n-3}b^3 + C_n^5 a^{n-5}b^5 + \dots$

Из определений $A$ и $B$ следует, что их сумма представляет собой полное разложение бинома $(a+b)^n$:
$A + B = (a+b)^n$.

Теперь рассмотрим разложение $(a-b)^n$ по той же формуле бинома Ньютона:
$(a-b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k}(-b)^k = C_n^0 a^n b^0 - C_n^1 a^{n-1}b^1 + C_n^2 a^{n-2}b^2 - C_n^3 a^{n-3}b^3 + \dots$
В этом разложении знаки членов чередуются. Члены, соответствующие четным $k$ (на нечетных местах), имеют положительный знак, а члены, соответствующие нечетным $k$ (на четных местах), имеют отрицательный знак. Таким образом, это разложение можно записать как разность $A$ и $B$:
$A - B = (a-b)^n$.

В результате мы получили систему из двух уравнений:
1) $A + B = (a+b)^n$
2) $A - B = (a-b)^n$

Перемножим левые и правые части этих уравнений друг на друга:
$(A+B)(A-B) = (a+b)^n(a-b)^n$

Используя формулу разности квадратов для левой части $ (x+y)(x-y) = x^2 - y^2 $ и свойство степеней $x^n y^n = (xy)^n$ для правой части, получаем:
$A^2 - B^2 = ((a+b)(a-b))^n$

Снова применив формулу разности квадратов к выражению $(a+b)(a-b)$ в правой части, приходим к доказываемому тождеству:
$A^2 - B^2 = (a^2 - b^2)^n$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество $A^2 - B^2 = (a^2 - b^2)^n$ доказано.