Номер 4.37, страница 113 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.37. Каждый участник игры «Тоғыз құмалақ» должен сыграть одну партию с каждым из оставшихся участников. Двое участников, успев сыграть по три партии каждый, по состоянию здоровья выбыли из турнира. Сколько игроков участвовали в турнире первоначально, если известно, что было сыграно всего 16 партий?

Пусть $n$ — первоначальное количество игроков в турнире.

По условию, двое участников выбыли из турнира. Это означает, что $n-2$ участников остались и, предположительно, доиграли турнир до конца между собой. В круговом турнире, где каждый играет с каждым, количество партий между $k$ участниками вычисляется по формуле числа сочетаний из $k$ по 2: $C_k^2 = \frac{k(k-1)}{2}$.

Таким образом, $n-2$ оставшихся участников сыграли между собой $\frac{(n-2)(n-3)}{2}$ партий.

Два выбывших участника успели сыграть по 3 партии каждый. Общее число сыгранных партий равно 16. Разберем два возможных случая относительно партий, сыгранных выбывшими участниками.

Случай 1: Выбывшие участники сыграли партию между собой.
В этом случае одна из трех партий каждого из них была сыграна друг с другом. Эта партия одна на двоих. Тогда первый выбывший игрок сыграл еще 2 партии с кем-то из оставшихся участников, и второй выбывший игрок также сыграл 2 партии с кем-то из оставшихся. Общее число уникальных партий, в которых участвовали выбывшие игроки, равно $1$ (партия между собой) $+ 2$ (партии первого с другими) $+ 2$ (партии второго с другими) $= 5$ партий.

Следовательно, общее число партий в турнире равно сумме партий между оставшимися игроками и партий, сыгранных выбывшими:
$\frac{(n-2)(n-3)}{2} + 5 = 16$

Вычтем 5 из обеих частей уравнения:
$\frac{(n-2)(n-3)}{2} = 11$

Умножим обе части на 2:
$(n-2)(n-3) = 22$

Это уравнение не имеет целочисленных решений, так как 22 нельзя представить в виде произведения двух последовательных целых чисел (например, $4 \times 5 = 20$, а $5 \times 6 = 30$). Поскольку количество участников должно быть целым числом, этот случай невозможен.

Случай 2: Выбывшие участники не играли между собой.
В этом случае каждый из выбывших игроков сыграл по 3 партии с кем-то из оставшихся $n-2$ участников. Общее количество партий, сыгранных этими двумя игроками, равно $3 + 3 = 6$. Эти партии не пересекаются, так как они не играли друг с другом.

Тогда общее число партий в турнире равно сумме партий между оставшимися игроками и партий, сыгранных выбывшими:
$\frac{(n-2)(n-3)}{2} + 6 = 16$

Вычтем 6 из обеих частей уравнения:
$\frac{(n-2)(n-3)}{2} = 10$

Умножим обе части на 2:
$(n-2)(n-3) = 20$

Пусть $k = n-2$. Тогда уравнение принимает вид $k(k-1) = 20$. Методом подбора находим, что $k=5$, так как $5 \times 4 = 20$.

Мы нашли, что количество оставшихся игроков равно 5. Поскольку $k = n-2$, мы можем найти первоначальное количество участников $n$:
$n - 2 = 5$
$n = 7$

Проверка:
Если первоначально было 7 игроков, то после выбывания двух осталось 5. Эти 5 игроков сыграли между собой $\frac{5 \times (5-1)}{2} = \frac{5 \times 4}{2} = 10$ партий. Два выбывших игрока сыграли по 3 партии каждый, что в сумме дает $3+3=6$ партий. Общее количество сыгранных партий: $10 + 6 = 16$. Это полностью соответствует условию задачи.

Ответ: первоначально в турнире участвовали 7 игроков.