Номер 4.44, страница 113 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.44. Найдите наибольший коэффициент в разложении выражения $(a + b + c + d)^5$.

Разложение выражения $(a + b + c + d)^5$ в полином осуществляется по полиномиальной (или мультиномиальной) формуле. Общий член разложения имеет вид:

$\frac{5!}{k_1! k_2! k_3! k_4!} a^{k_1} b^{k_2} c^{k_3} d^{k_4}$

где $k_1, k_2, k_3, k_4$ — это целые неотрицательные числа, сумма которых равна 5, то есть $k_1 + k_2 + k_3 + k_4 = 5$.

Коэффициенты в разложении — это полиномиальные коэффициенты вида $C(k_1, k_2, k_3, k_4) = \frac{5!}{k_1! k_2! k_3! k_4!}$. Нам необходимо найти наибольшее значение такого коэффициента.

Значение дроби $\frac{n!}{k_1! k_2! \dots k_m!}$ (где $n$ — фиксированное число, в нашем случае $n=5$) максимально, когда знаменатель $k_1! k_2! \dots k_m!$ минимален. Произведение факториалов будет минимальным, когда числа $k_1, k_2, k_3, k_4$ как можно меньше отличаются друг от друга, то есть когда их распределение наиболее равномерное.

Нам нужно разбить число 5 на 4 целых неотрицательных слагаемых, которые были бы как можно ближе друг к другу. Среднее значение слагаемого равно $5 / 4 = 1.25$. Следовательно, слагаемые должны быть целыми числами, максимально близкими к этому значению. Такими числами являются 1 и 2.

Наиболее равномерное представление числа 5 в виде суммы четырех целых неотрицательных чисел — это $5 = 2 + 1 + 1 + 1$. Любое другое разбиение (например, $5 = 3 + 1 + 1 + 0$ или $5 = 2 + 2 + 1 + 0$) будет менее равномерным, так как слагаемые в них больше отличаются друг от друга.

Таким образом, наибольший коэффициент будет соответствовать набору степеней $\{2, 1, 1, 1\}$. Вычислим его значение:

$C_{max} = \frac{5!}{2! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 1!} = \frac{120}{2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1} = 60$.

Для сравнения, рассмотрим коэффициенты для других, менее равномерных, разбиений числа 5:

Для набора степеней $\{2, 2, 1, 0\}$ (сумма $2+2+1+0=5$): $C = \frac{5!}{2!2!1!0!} = \frac{120}{2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1} = 30$.

Для набора степеней $\{3, 1, 1, 0\}$ (сумма $3+1+1+0=5$): $C = \frac{5!}{3!1!1!0!} = \frac{120}{6 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1} = 20$.

Для набора степеней $\{4, 1, 0, 0\}$ (сумма $4+1+0+0=5$): $C = \frac{5!}{4!1!0!0!} = \frac{120}{24} = 5$.

Как видно, все эти коэффициенты меньше, чем 60. Следовательно, наибольший коэффициент равен 60.

Ответ: 60.