Номер 4.55, страница 118 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.55. В предыдущей задаче выпишите элементы, принадлежащие событию:

1) $A + E$;

2) $C + D$;

3) $B \cdot D$;

4) $B - A$;

5) $\overline{A} - C$;

6) $C \cdot E + A$.

Поскольку в условии указано "В предыдущей задаче", для решения необходимо определить контекст, который обычно дается в предшествующем задании. Стандартным примером для таких задач является эксперимент с однократным броском игральной кости. Будем исходить из следующих предположений.

Пространство элементарных исходов (всех возможных результатов броска): $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.

Определим события A, B, C, D и E следующим образом: Событие A — выпало четное число очков: $A = \{2, 4, 6\}$. Событие B — выпало нечетное число очков: $B = \{1, 3, 5\}$. Событие C — число очков кратно трем: $C = \{3, 6\}$. Событие D — выпало число очков, меньшее 4: $D = \{1, 2, 3\}$. Событие E — выпало число очков, не меньшее 5: $E = \{5, 6\}$.

В алгебре событий приняты следующие обозначения: «+» — сумма событий (объединение множеств, обозначается также $\cup$). «·» — произведение событий (пересечение множеств, обозначается также $\cap$). «–» — разность событий (разность множеств, обозначается также $\setminus$). $\bar{A}$ — противоположное событие (дополнение множества, $\Omega \setminus A$).

Сумма событий $A + E$ представляет собой событие, состоящее из всех элементарных исходов, которые принадлежат хотя бы одному из событий $A$ или $E$. Это операция объединения множеств.

Имеем множества: $A = \{2, 4, 6\}$ и $E = \{5, 6\}$.

Объединяем их элементы: $A + E = A \cup E = \{2, 4, 6\} \cup \{5, 6\} = \{2, 4, 5, 6\}$.

Ответ: $\{2, 4, 5, 6\}$.

Сумма событий $C + D$ — это событие, включающее все исходы, принадлежащие либо $C$, либо $D$, либо им обоим (объединение множеств).

Имеем множества: $C = \{3, 6\}$ и $D = \{1, 2, 3\}$.

Объединяем их элементы: $C + D = C \cup D = \{3, 6\} \cup \{1, 2, 3\} = \{1, 2, 3, 6\}$.

Ответ: $\{1, 2, 3, 6\}$.

Произведение событий $B \cdot D$ — это событие, состоящее из всех исходов, которые принадлежат одновременно и событию $B$, и событию $D$. Это операция пересечения множеств.

Имеем множества: $B = \{1, 3, 5\}$ и $D = \{1, 2, 3\}$.

Находим общие для них элементы: $B \cdot D = B \cap D = \{1, 3, 5\} \cap \{1, 2, 3\} = \{1, 3\}$.

Ответ: $\{1, 3\}$.

Разность событий $B - A$ — это событие, состоящее из исходов, которые принадлежат событию $B$, но не принадлежат событию $A$.

Имеем множества: $B = \{1, 3, 5\}$ и $A = \{2, 4, 6\}$.

Из множества $B$ исключаем элементы, которые есть в $A$. Поскольку у множеств $A$ и $B$ нет общих элементов (события несовместные), разность будет равна самому множеству $B$.

$B - A = B \setminus A = \{1, 3, 5\} \setminus \{2, 4, 6\} = \{1, 3, 5\}$.

Ответ: $\{1, 3, 5\}$.

Сначала необходимо найти событие $\bar{A}$ (противоположное событию $A$). Оно включает все исходы из пространства $\Omega$, которые не входят в $A$.

$\bar{A} = \Omega \setminus A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \setminus \{2, 4, 6\} = \{1, 3, 5\}$.

Теперь выполним операцию разности $\bar{A} - C$.

Имеем множества: $\bar{A} = \{1, 3, 5\}$ и $C = \{3, 6\}$.

Из множества $\bar{A}$ исключаем элементы, принадлежащие $C$:

$\bar{A} - C = \{1, 3, 5\} \setminus \{3, 6\} = \{1, 5\}$.

Ответ: $\{1, 5\}$.

В выражениях с несколькими операциями принят следующий порядок действий: сначала выполняется умножение (пересечение), а затем сложение (объединение). Таким образом, мы ищем $(C \cdot E) + A$.

Шаг 1: Найдем произведение $C \cdot E$.

$C \cdot E = C \cap E = \{3, 6\} \cap \{5, 6\} = \{6\}$.

Шаг 2: Найдем сумму полученного результата с событием $A$.

$(C \cdot E) + A = \{6\} + A = \{6\} \cup \{2, 4, 6\} = \{2, 4, 6\}$.

Ответ: $\{2, 4, 6\}$.