Номер 4.61, страница 119 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.61. Два стрелка произвели по одному выстрелу по мишени. Вероятность поражения мишени первым стрелком равна 0,7, а вторым – 0,8. Какова вероятность того, что в мишень:

1) попадет только один стрелок;

2) попадет по меньшей мере один стрелок;

3) попадут оба стрелка?

Какова вероятность того, что по меньшей мере один стрелок промахнется?

Для решения задачи введем обозначения для основных событий:

$A$ — событие, состоящее в том, что первый стрелок попал в мишень.

$B$ — событие, состоящее в том, что второй стрелок попал в мишень.

Согласно условию, вероятности этих событий равны:

$P(A) = 0,7$

$P(B) = 0,8$

Поскольку выстрелы производятся разными стрелками, эти события являются независимыми.

Также нам понадобятся вероятности противоположных событий (промахов):

$\bar{A}$ — событие, когда первый стрелок промахнулся. Его вероятность: $P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0,7 = 0,3$.

$\bar{B}$ — событие, когда второй стрелок промахнулся. Его вероятность: $P(\bar{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0,8 = 0,2$.

1) попадет только один стрелок

Это событие означает, что происходит один из двух несовместных исходов: либо первый стрелок попадает, а второй промахивается (событие $A \cap \bar{B}$), либо первый промахивается, а второй попадает (событие $\bar{A} \cap B$). Вероятность такого события равна сумме вероятностей этих двух исходов.

Вероятность того, что первый попал, а второй промахнулся (из-за независимости событий):

$P(A \cap \bar{B}) = P(A) \cdot P(\bar{B}) = 0,7 \cdot 0,2 = 0,14$

Вероятность того, что первый промахнулся, а второй попал:

$P(\bar{A} \cap B) = P(\bar{A}) \cdot P(B) = 0,3 \cdot 0,8 = 0,24$

Искомая вероятность:

$P_1 = P(A \cap \bar{B}) + P(\bar{A} \cap B) = 0,14 + 0,24 = 0,38$

Ответ: 0,38.

2) попадет по меньшей мере один стрелок

Событие «попадет по меньшей мере один стрелок» означает, что в мишень попадет один или оба стрелка. Проще всего найти вероятность противоположного события — «оба стрелка промахнулись» — и вычесть ее из 1.

Вероятность того, что оба стрелка промахнулись (событие $\bar{A} \cap \bar{B}$):

$P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\bar{A}) \cdot P(\bar{B}) = 0,3 \cdot 0,2 = 0,06$

Тогда вероятность того, что попадет хотя бы один стрелок, равна:

$P_2 = 1 - P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 1 - 0,06 = 0,94$

Ответ: 0,94.

3) попадут оба стрелка

Это событие ($A \cap B$) означает, что и первый, и второй стрелки попали в цель. Так как события независимы, их вероятности перемножаются.

$P_3 = P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = 0,7 \cdot 0,8 = 0,56$

Ответ: 0,56.

Какова вероятность того, что по меньшей мере один стрелок промахнется?

Событие «по меньшей мере один стрелок промахнется» является противоположным событию «оба стрелка попали».

Вероятность того, что оба стрелка попали, была найдена в пункте 3: $P(A \cap B) = 0,56$.

Следовательно, вероятность того, что хотя бы один стрелок промахнется, равна:

$P_4 = 1 - P(A \cap B) = 1 - 0,56 = 0,44$

Ответ: 0,44.