Номер 4.64, страница 119 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.64. Было приобретено по одному билету в двух видах лотереи. Событие A означает выпадение выигрыша по первому билету, а B – по второму билету. Каков смысл событий $P = A\bar{B} + \bar{A}B$ и $\emptyset = \bar{A}\bar{B} + \bar{A}B + AB$?

Для ответа на вопрос разберем введенные обозначения и операции над событиями.

Событие A: выигрыш по первому билету.
Событие B: выигрыш по второму билету.
Следовательно, противоположные события:
$\bar{A}$: нет выигрыша по первому билету.
$\bar{B}$: нет выигрыша по второму билету.

В алгебре событий:

• Произведение событий (например, $XY$) означает их одновременное наступление (пересечение, "И").
• Сумма событий (например, $X+Y$) означает наступление хотя бы одного из них (объединение, "ИЛИ").

Смысл события $P = A \bar{B} + \bar{A} B$

Это событие представляет собой сумму двух несовместных (взаимоисключающих) событий: $A \bar{B}$ и $\bar{A} B$.

1. Событие $A \bar{B}$ является произведением события $A$ (выигрыш по первому билету) и события $\bar{B}$ (нет выигрыша по второму билету). Таким образом, $A \bar{B}$ означает, что выигрыш выпал только на первый билет.

2. Событие $\bar{A} B$ является произведением события $\bar{A}$ (нет выигрыша по первому билету) и события $B$ (выигрыш по второму билету). Таким образом, $\bar{A} B$ означает, что выигрыш выпал только на второй билет.

Сумма $A \bar{B} + \bar{A} B$ означает, что произошло либо событие $A \bar{B}$, либо событие $\bar{A} B$. Объединяя их смысл, получаем, что выигрыш выпал ровно по одному из двух билетов.

Ответ: Событие $P$ означает, что выиграл ровно один из двух лотерейных билетов.

Смысл события $\varnothing = \bar{A} \bar{B} + A \bar{B} + \bar{A} B + AB$

(Примечание: символ $\varnothing$ в данном контексте, скорее всего, является опечаткой и используется для обозначения нового события, так как обычно он означает невозможное событие, а данное выражение описывает достоверное событие, которое часто обозначают как $\Omega$).

Данное событие является суммой четырех несовместных событий, которые составляют полную группу всех возможных исходов для двух лотерейных билетов:

1. $\bar{A} \bar{B}$: нет выигрыша ни по первому, ни по второму билету (проиграли оба).
2. $A \bar{B}$: есть выигрыш по первому билету и нет выигрыша по второму (выиграл только первый).
3. $\bar{A} B$: нет выигрыша по первому билету и есть выигрыш по второму (выиграл только второй).
4. $AB$: есть выигрыш и по первому, и по второму билету (выиграли оба).

Сумма этих четырех событий представляет собой объединение всех возможных исходов эксперимента (покупки двух билетов). Такое событие, которое обязательно произойдет в результате испытания, называется достоверным событием.

Это можно также показать алгебраически. Сгруппируем слагаемые:

$ (\bar{A} \bar{B} + A \bar{B}) + (\bar{A} B + AB) $

Вынесем общие множители за скобки, используя дистрибутивный закон:

$ (\bar{A} + A) \bar{B} + (\bar{A} + A) B $

Сумма противоположных событий $A + \bar{A}$ является достоверным событием (обозначим его $\Omega$), так как либо событие $A$ произойдет, либо не произойдет.

$ \Omega \bar{B} + \Omega B $

Произведение любого события с достоверным событием равно самому этому событию.

$ \bar{B} + B $

Вновь получаем сумму противоположных событий, которая равна достоверному событию $\Omega$.

Ответ: Событие, описанное выражением $\bar{A} \bar{B} + A \bar{B} + \bar{A} B + AB$, является достоверным событием. Это означает, что в результате испытания обязательно произойдет один из четырех возможных исходов (либо не будет выигрышей, либо выиграет только один билет, либо выиграют оба).