Номер 4.85, страница 122 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.85. Из 10 альчиков в первом мешочке 8 красного цвета, а из 20 альчиков во втором мешочке 4 красного цвета. Наугад из каждого мешочка извлекли по одному альчику, затем из этих двух альчиков случайно отобрали один. Какова вероятность того, что отобранный альчик окажется красного цвета?

Для решения задачи воспользуемся методом полной вероятности. Пусть событие $A$ заключается в том, что отобранный в конечном итоге альчик окажется красного цвета. Это событие зависит от того, какие альчики были извлечены из мешочков на первом этапе.

Определим четыре возможные гипотезы, описывающие состав двух альчиков, извлеченных из мешочков:

$H_1$ — оба извлеченных альчика красные.
$H_2$ — альчик из первого мешочка красный, а из второго — не красный.
$H_3$ — альчик из первого мешочка не красный, а из второго — красный.
$H_4$ — оба извлеченных альчика не красные.

Эти четыре гипотезы являются несовместными и образуют полную группу событий.

Сначала вычислим вероятности извлечения красного и не красного альчика из каждого мешочка.

Для первого мешочка, в котором 10 альчиков, из них 8 красных:
Вероятность извлечь красный альчик: $P(К_1) = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$.
Вероятность извлечь не красный альчик: $P(НК_1) = 1 - \frac{8}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.

Для второго мешочка, в котором 20 альчиков, из них 4 красных:
Вероятность извлечь красный альчик: $P(К_2) = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}$.
Вероятность извлечь не красный альчик: $P(НК_2) = 1 - \frac{4}{20} = \frac{16}{20} = \frac{4}{5}$.

Поскольку выбор из каждого мешочка является независимым событием, мы можем рассчитать вероятности каждой гипотезы, перемножая соответствующие вероятности:

$P(H_1) = P(К_1) \cdot P(К_2) = \frac{8}{10} \cdot \frac{4}{20} = \frac{32}{200}$.

$P(H_2) = P(К_1) \cdot P(НК_2) = \frac{8}{10} \cdot \frac{16}{20} = \frac{128}{200}$.

$P(H_3) = P(НК_1) \cdot P(К_2) = \frac{2}{10} \cdot \frac{4}{20} = \frac{8}{200}$.

$P(H_4) = P(НК_1) \cdot P(НК_2) = \frac{2}{10} \cdot \frac{16}{20} = \frac{32}{200}$.

Теперь найдем условную вероятность события $A$ (выбор красного альчика) для каждой из гипотез. На втором этапе из двух извлеченных альчиков случайно выбирается один.

Если произошла гипотеза $H_1$ (оба альчика красные), то вероятность выбрать красный альчик из них равна 1. То есть, $P(A|H_1) = 1$.

Если произошла гипотеза $H_2$ (один красный, другой не красный), то вероятность выбрать красный альчик из них равна $\frac{1}{2}$. То есть, $P(A|H_2) = \frac{1}{2}$.

Если произошла гипотеза $H_3$ (один не красный, другой красный), то вероятность выбрать красный альчик также равна $\frac{1}{2}$. То есть, $P(A|H_3) = \frac{1}{2}$.

Если произошла гипотеза $H_4$ (оба альчика не красные), то вероятность выбрать красный альчик равна 0. То есть, $P(A|H_4) = 0$.

По формуле полной вероятности, искомая вероятность $P(A)$ равна сумме произведений вероятностей каждой гипотезы на условную вероятность события $A$ при этой гипотезе:

$P(A) = P(H_1)P(A|H_1) + P(H_2)P(A|H_2) + P(H_3)P(A|H_3) + P(H_4)P(A|H_4)$

Подставим вычисленные значения:

$P(A) = \frac{32}{200} \cdot 1 + \frac{128}{200} \cdot \frac{1}{2} + \frac{8}{200} \cdot \frac{1}{2} + \frac{32}{200} \cdot 0$

$P(A) = \frac{32}{200} + \frac{64}{200} + \frac{4}{200} + 0$

$P(A) = \frac{32 + 64 + 4}{200} = \frac{100}{200} = \frac{1}{2}$

Ответ: Вероятность того, что отобранный альчик окажется красного цвета, равна $\frac{1}{2}$.