Номер 4.114, страница 129 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.114. В автопарке имеются 12 автобусов. Вероятность выхода на линию каждого из них равна 0,8. Найдите вероятность нормальной работы автопарка в ближайший день, если для этого необходимо иметь на линии 8 автобусов.

Это задача на использование формулы Бернулли для последовательности независимых испытаний. Каждое испытание — это проверка, выйдет ли конкретный автобус на линию.
Введем обозначения:
$n=12$ — общее число автобусов (число испытаний).
$p=0.8$ — вероятность того, что автобус выйдет на линию (вероятность "успеха").
$q=1-p=1-0.8=0.2$ — вероятность того, что автобус не выйдет на линию (вероятность "неудачи").
"Нормальная работа автопарка" требует, чтобы на линии было 8 автобусов. В подобных задачах это обычно означает, что на линии должно быть *не менее* 8 автобусов. Таким образом, нам нужно найти вероятность того, что число вышедших на линию автобусов $k$ будет равно 8, 9, 10, 11 или 12.
Искомая вероятность $P(k \ge 8)$ равна сумме вероятностей:
$P(k \ge 8) = P_{12}(8) + P_{12}(9) + P_{12}(10) + P_{12}(11) + P_{12}(12)$.
Вероятность $P_n(k)$ наступления ровно $k$ успехов в $n$ испытаниях вычисляется по формуле Бернулли:
$P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k}$, где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — биномиальный коэффициент.
Рассчитаем каждое слагаемое:
$P_{12}(8) = C_{12}^8 \cdot (0.8)^8 \cdot (0.2)^4 = \frac{12!}{8! \cdot 4!} \cdot (0.8)^8 \cdot (0.2)^4 = 495 \cdot 0.16777216 \cdot 0.0016 \approx 0.13287555$
$P_{12}(9) = C_{12}^9 \cdot (0.8)^9 \cdot (0.2)^3 = \frac{12!}{9! \cdot 3!} \cdot (0.8)^9 \cdot (0.2)^3 = 220 \cdot 0.134217728 \cdot 0.008 \approx 0.23622320$
$P_{12}(10) = C_{12}^{10} \cdot (0.8)^{10} \cdot (0.2)^2 = \frac{12!}{10! \cdot 2!} \cdot (0.8)^{10} \cdot (0.2)^2 = 66 \cdot 0.1073741824 \cdot 0.04 \approx 0.28346784$
$P_{12}(11) = C_{12}^{11} \cdot (0.8)^{11} \cdot (0.2)^1 = \frac{12!}{11! \cdot 1!} \cdot (0.8)^{11} \cdot 0.2 = 12 \cdot 0.08589934592 \cdot 0.2 \approx 0.20615843$
$P_{12}(12) = C_{12}^{12} \cdot (0.8)^{12} \cdot (0.2)^0 = 1 \cdot (0.8)^{12} \cdot 1 \approx 0.06871948$
Теперь просуммируем эти вероятности:
$P(k \ge 8) \approx 0.13287555 + 0.23622320 + 0.28346784 + 0.20615843 + 0.06871948 \approx 0.9274445$
Округляя результат до четырех знаков после запятой, получаем $0.9274$.
Ответ: $0.9274$.