Номер 4.122, страница 130 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.122. Вырезали угловые клетки шахматной доски, расположенные на одной из ее диагоналей. Можно ли полностью покрыть оставшуюся часть шахматной доски прямоугольной фигурой, составленной из одной белой и одной черной клеток шахматной доски?

Рассмотрим стандартную шахматную доску размером $8 \times 8$. Она состоит из 64 клеток. При стандартной раскраске на доске имеется одинаковое количество белых и черных клеток: 32 белых и 32 черных.

Все клетки, расположенные на одной диагонали шахматной доски, имеют одинаковый цвет. Например, если клетка a1 (левая нижняя) — черная, то все клетки главной диагонали (a1, b2, c3, ..., h8) будут черными. Если a1 — белая, то они все будут белыми. Аналогично для побочной диагонали (a8, b7, ..., h1).

В задаче указано, что вырезали две угловые клетки, расположенные на одной из ее диагоналей. Это означает, что были удалены две клетки одного и того же цвета.

Предположим, что удаленные угловые клетки были белыми. Тогда на оставшейся части доски окажется 30 белых клеток ($32 - 2 = 30$) и 32 черные клетки. Если же удаленные клетки были черными, то на доске останется 32 белые клетки и 30 черных клеток ($32 - 2 = 30$). В любом случае, количество белых и черных клеток на оставшейся части доски становится разным. Общее число оставшихся клеток равно $64 - 2 = 62$.

Прямоугольная фигура, которой нужно покрыть доску, по условию состоит из одной белой и одной черной клетки. Такая фигура представляет собой домино размером $1 \times 2$ или $2 \times 1$. Каждое такое домино всегда покрывает ровно одну белую и одну черную клетку.

Для того чтобы полностью покрыть оставшуюся часть доски, состоящую из 62 клеток, потребуется $62 / 2 = 31$ такая фигура (домино). Если бы такое покрытие было возможно, то 31 домино покрыло бы 31 белую и 31 черную клетку.

Однако, как мы установили ранее, на оставшейся части доски количество белых и черных клеток не равно (30 и 32, или 32 и 30). Следовательно, невозможно покрыть эту часть доски фигурами, каждая из которых накрывает одну белую и одну черную клетку. Возникает противоречие: для покрытия требуется равное количество клеток каждого цвета, а на доске их разное количество.

Ответ: Нет, покрыть оставшуюся часть доски указанными фигурами невозможно.