Номер 4.129, страница 131 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.129. Покажите, что $P_A(B+C) = P_A(B) + P_A(C)$, если $B$ и $C$ – несовместные события и $P(A) \neq 0$.

4.129. Чтобы доказать равенство $P_A(B+C) = P_A(B) + P_A(C)$ при условии, что события $B$ и $C$ несовместны и $P(A) \neq 0$, мы будем использовать определение условной вероятности и свойства операций над событиями.

1. По определению, условная вероятность события $X$ при условии наступления события $A$ вычисляется по формуле: $P_A(X) = P(X|A) = \frac{P(X \cap A)}{P(A)}$.
В нашей задаче сумма событий $B+C$ соответствует объединению событий $B \cup C$.

2. Распишем левую часть доказываемого равенства, используя определение условной вероятности:
$P_A(B+C) = P_A(B \cup C) = \frac{P((B \cup C) \cap A)}{P(A)}$.

3. Применим дистрибутивный (распределительный) закон для операций пересечения и объединения множеств к выражению в числителе: $(B \cup C) \cap A = (B \cap A) \cup (C \cap A)$.
Тогда выражение для условной вероятности примет вид:
$P_A(B+C) = \frac{P((B \cap A) \cup (C \cap A))}{P(A)}$.

4. По условию задачи, события $B$ и $C$ несовместны, это значит, что их пересечение является невозможным событием: $B \cap C = \emptyset$.
Рассмотрим события $(B \cap A)$ и $(C \cap A)$. Найдем их пересечение: $(B \cap A) \cap (C \cap A) = (B \cap C) \cap A$.
Так как $B \cap C = \emptyset$, то $(B \cap C) \cap A = \emptyset \cap A = \emptyset$.
Это означает, что события $(B \cap A)$ и $(C \cap A)$ также являются несовместными.

5. Для несовместных событий вероятность их объединения равна сумме их вероятностей (аксиома аддитивности). Следовательно, для числителя справедливо:
$P((B \cap A) \cup (C \cap A)) = P(B \cap A) + P(C \cap A)$.

6. Подставим это выражение обратно в формулу для $P_A(B+C)$ и разделим дробь на два слагаемых:
$P_A(B+C) = \frac{P(B \cap A) + P(C \cap A)}{P(A)} = \frac{P(B \cap A)}{P(A)} + \frac{P(C \cap A)}{P(A)}$.

7. Каждое из слагаемых в правой части является условной вероятностью по определению:
$\frac{P(B \cap A)}{P(A)} = P_A(B)$
$\frac{P(C \cap A)}{P(A)} = P_A(C)$

8. Таким образом, мы получаем искомое равенство:
$P_A(B+C) = P_A(B) + P_A(C)$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $P_A(B+C) = P_A(B) + P_A(C)$ для несовместных событий $B$ и $C$ и при $P(A) \neq 0$ доказано.