Номер 4.130, страница 131 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.130. Докажите, что $P_A(B+C) = P_A(B) + P_A(C) - P_A(BC)$, если $P(A) \ne 0$.

Требуется доказать, что условная вероятность удовлетворяет теореме сложения вероятностей. В используемой в задаче нотации $P_A(X)$ обозначает условную вероятность события $X$ при условии наступления события $A$, что эквивалентно записи $P(X|A)$. Сумма событий $B+C$ означает объединение событий $B \cup C$, а произведение $BC$ — их пересечение $B \cap C$. Условие $P(A) \neq 0$ необходимо, чтобы условная вероятность была определена.

Доказательство будем проводить, преобразуя левую часть равенства к правой.

1. Начнем с левой части равенства и применим определение условной вероятности: $P_A(B+C) = P(B \cup C | A) = \frac{P((B \cup C) \cap A)}{P(A)}$

2. Воспользуемся дистрибутивным свойством операций пересечения и объединения множеств: $(B \cup C) \cap A = (B \cap A) \cup (C \cap A)$

3. Подставим это выражение обратно в числитель дроби: $P_A(B+C) = \frac{P((B \cap A) \cup (C \cap A))}{P(A)}$

4. Теперь применим основную теорему сложения вероятностей для событий $(B \cap A)$ и $(C \cap A)$: $P((B \cap A) \cup (C \cap A)) = P(B \cap A) + P(C \cap A) - P((B \cap A) \cap (C \cap A))$

5. Упростим последний член в правой части, используя свойства операции пересечения (ассоциативность и идемпотентность): $(B \cap A) \cap (C \cap A) = B \cap C \cap A$

6. Таким образом, выражение для вероятности в числителе принимает вид: $P((B \cap A) \cup (C \cap A)) = P(B \cap A) + P(C \cap A) - P(B \cap C \cap A)$

7. Подставим это в нашу формулу для $P_A(B+C)$: $P_A(B+C) = \frac{P(B \cap A) + P(C \cap A) - P(B \cap C \cap A)}{P(A)}$

8. Разделим числитель на знаменатель почленно: $P_A(B+C) = \frac{P(B \cap A)}{P(A)} + \frac{P(C \cap A)}{P(A)} - \frac{P(B \cap C \cap A)}{P(A)}$

9. Вспомним определение условной вероятности для каждого из полученных слагаемых: $\frac{P(B \cap A)}{P(A)} = P(B|A) = P_A(B)$
$\frac{P(C \cap A)}{P(A)} = P(C|A) = P_A(C)$
$\frac{P((B \cap C) \cap A)}{P(A)} = P(B \cap C|A) = P_A(BC)$

10. Подставляя эти выражения в равенство из шага 8, получаем искомое тождество: $P_A(B+C) = P_A(B) + P_A(C) - P_A(BC)$

Таким образом, равенство доказано.

Ответ: Равенство $P_A(B+C) = P_A(B) + P_A(C) - P_A(BC)$ доказано путем последовательного применения определения условной вероятности, дистрибутивного закона для операций над событиями и теоремы сложения вероятностей для двух произвольных событий.