Номер 4.125, страница 130 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.125. В течение 15 дней учащиеся должны сдать 5 экзаменов, среди которых имеются экзамены по алгебре и геометрии. Сколькими способами можно составить расписание экзаменов так, чтобы экзамены по алгебре и геометрии не следовали друг за другом?

Для решения задачи воспользуемся комбинаторным методом исключения. Мы найдем общее количество всех возможных способов составить расписание, а затем вычтем из него количество "неблагоприятных" способов, то есть тех, в которых экзамены по алгебре и геометрии назначены на соседние дни.

1. Нахождение общего количества способов составить расписание

У нас есть 15 дней и 5 различных экзаменов. Необходимо выбрать 5 дней из 15 и распределить по ним 5 экзаменов. Поскольку все экзамены различны, порядок их следования важен. Это задача на нахождение числа размещений.

Общее число способов ($N_{общ}$) равно числу размещений из 15 элементов по 5, которое вычисляется по формуле $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$:

$N_{общ} = A_{15}^5 = \frac{15!}{(15-5)!} = \frac{15!}{10!} = 15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11 = 360360$

Таким образом, всего существует 360 360 способов составить расписание без каких-либо ограничений.

2. Нахождение количества способов, при которых экзамены по алгебре и геометрии следуют друг за другом

Для подсчета таких способов, представим экзамены по алгебре и геометрии как единый блок, который должен занимать два дня подряд.

Шаг 1: Выбор места для блока. Блок из двух последовательных дней можно разместить в 15-дневном периоде $15 - 1 = 14$ способами (пары дней: 1-2, 2-3, ..., 14-15).

Шаг 2: Расположение экзаменов внутри блока. Экзамены по алгебре и геометрии можно расположить в блоке двумя способами: (алгебра, геометрия) или (геометрия, алгебра). Это $2! = 2$ варианта.

Шаг 3: Размещение оставшихся экзаменов. У нас осталось $5 - 2 = 3$ экзамена, которые нужно разместить на оставшиеся $15 - 2 = 13$ свободных дней. Число способов сделать это равно числу размещений из 13 по 3:

$A_{13}^3 = \frac{13!}{(13-3)!} = \frac{13!}{10!} = 13 \times 12 \times 11 = 1716$

Шаг 4: Общее число "неблагоприятных" расписаний ($N_{небл}$). Чтобы найти его, нужно перемножить количество способов на каждом шаге:

$N_{небл} = 14 \times 2 \times A_{13}^3 = 28 \times 1716 = 48048$

3. Нахождение искомого количества способов

Чтобы найти количество расписаний, в которых экзамены по алгебре и геометрии не следуют друг за другом, вычтем из общего числа расписаний число "неблагоприятных" расписаний:

$N = N_{общ} - N_{небл} = 360360 - 48048 = 312312$

Ответ: 312312