gdz.top
Номер 5.3, страница 137 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков
Авторы: Шыныбеков А. Н., Шыныбеков Д. А., Жумабаев Р. Н.
Тип: Учебник
Издательство: Атамұра
Год издания: 2019 - 2025
Цвет обложки:
ISBN: 978-601-331-522-5
Рекомендовано Министерством образования и науки Республики Казахстан
Популярные ГДЗ в 10 классе
Раздел 5. Многочлены. 5.1. Многочлены с несколькими переменными - номер 5.3, страница 137.
№5.2
№5.3 (с. 137)
Учебник рус. №5.3 (с. 137)
5.3. Сумму $x^5 + y^5$ выразите через $\sigma_1$ и $\sigma_2$.
Учебник кз. №5.3 (с. 137)
Решение. №5.3 (с. 137)
Решение 2 (rus). №5.3 (с. 137)
Для выражения суммы $x^5 + y^5$ через элементарные симметрические многочлены $\sigma_1 = x+y$ и $\sigma_2 = xy$, воспользуемся формулой бинома Ньютона для $(x+y)^5$.
$(x+y)^5 = x^5 + 5x^4y + 10x^3y^2 + 10x^2y^3 + 5xy^4 + y^5$
Сгруппируем слагаемые, чтобы выделить искомое выражение $S_5 = x^5+y^5$ и другие симметрические комбинации:
$\sigma_1^5 = (x^5 + y^5) + (5x^4y + 5xy^4) + (10x^3y^2 + 10x^2y^3)$
Вынесем общие множители в каждой из скобок:
$\sigma_1^5 = (x^5 + y^5) + 5xy(x^3+y^3) + 10(xy)^2(x+y)$
Теперь запишем это равенство, используя обозначения $S_k = x^k+y^k$, $\sigma_1$ и $\sigma_2$:
$\sigma_1^5 = S_5 + 5\sigma_2 S_3 + 10\sigma_2^2 \sigma_1$
Выразим отсюда $S_5$:
$S_5 = \sigma_1^5 - 5\sigma_2 S_3 - 10\sigma_1\sigma_2^2$
Для завершения решения необходимо выразить $S_3 = x^3+y^3$ через $\sigma_1$ и $\sigma_2$. Сделаем это также с помощью формулы куба суммы:
$(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 = (x^3+y^3) + 3xy(x+y)$
В наших обозначениях:
$\sigma_1^3 = S_3 + 3\sigma_2\sigma_1$
Откуда получаем:
$S_3 = \sigma_1^3 - 3\sigma_1\sigma_2$
Наконец, подставим это выражение для $S_3$ в формулу для $S_5$:
$S_5 = \sigma_1^5 - 5\sigma_2(\sigma_1^3 - 3\sigma_1\sigma_2) - 10\sigma_1\sigma_2^2$
Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:
$S_5 = \sigma_1^5 - 5\sigma_1^3\sigma_2 + 15\sigma_1\sigma_2^2 - 10\sigma_1\sigma_2^2$
$S_5 = \sigma_1^5 - 5\sigma_1^3\sigma_2 + 5\sigma_1\sigma_2^2$
Ответ: $ \sigma_1^5 - 5\sigma_1^3\sigma_2 + 5\sigma_1\sigma_2^2 $
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 5.3 расположенного на странице 137 к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №5.3 (с. 137), авторов: Шыныбеков (Абдухали Насырович), Шыныбеков (Данияр Абдухалиевич), Жумабаев (Ринат Нурланович), учебного пособия издательства Атамұра.