Номер 5.6, страница 137 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.6. Докажите тождество:

а) $x^2 + y^2 + z^2 = \sigma_1^2 - 2\sigma_2;$

б) $x^3 + y^3 + z^3 = \sigma_1^3 - 3\sigma_1\sigma_2 + 3\sigma_3;$

в) $x^4 + y^4 + z^4 = \sigma_1^4 - 4\sigma_1^2\sigma_2 + 2\sigma_2^2 + 4\sigma_1\sigma_3;$

г) $x^2y^2 + x^2z^2 + z^2y^2 = \sigma_2^2 - 2\sigma_1\sigma_3;$

д) $x^2y + x^2z + y^2x + z^2x + y^2z + yz^2 = \sigma_1\sigma_2 - 3\sigma_3;$

е) $x^3y + x^3z + y^3x + z^3x + y^3z + yz^3 = \sigma_1^2\sigma_2 - 2\sigma_2^2 - \sigma_1\sigma_3.$

В основе всех доказательств лежат определения элементарных симметрических многочленов от трех переменных $x, y, z$:
$\sigma_1 = x + y + z$
$\sigma_2 = xy + yz + zx$
$\sigma_3 = xyz$

а) Для доказательства тождества $x^2 + y^2 + z^2 = \sigma_1^2 - 2\sigma_2$ рассмотрим правую часть. Подставим в нее определения $\sigma_1$ и $\sigma_2$:
$\sigma_1^2 - 2\sigma_2 = (x + y + z)^2 - 2(xy + yz + zx)$.
Используем формулу квадрата суммы трех чисел: $(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$.
$(x + y + z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz + 2zx$.
Подставляя это в исходное выражение, получаем:
$(x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz + 2zx) - 2(xy + yz + zx) = x^2 + y^2 + z^2$.
Правая часть равна левой, тождество доказано.
Ответ: $x^2 + y^2 + z^2 = \sigma_1^2 - 2\sigma_2$.

б) Для доказательства тождества $x^3 + y^3 + z^3 = \sigma_1^3 - 3\sigma_1\sigma_2 + 3\sigma_3$ воспользуемся известным тождеством: $a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$.
Применительно к нашим переменным оно выглядит так:
$x^3+y^3+z^3 - 3xyz = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2 - (xy+yz+zx))$.
Запишем это в терминах $\sigma$:
$x^3+y^3+z^3 - 3\sigma_3 = \sigma_1( (x^2+y^2+z^2) - \sigma_2)$.
Из пункта а) известно, что $x^2+y^2+z^2 = \sigma_1^2 - 2\sigma_2$. Подставим это выражение:
$x^3+y^3+z^3 - 3\sigma_3 = \sigma_1((\sigma_1^2 - 2\sigma_2) - \sigma_2) = \sigma_1(\sigma_1^2 - 3\sigma_2) = \sigma_1^3 - 3\sigma_1\sigma_2$.
Выразим отсюда сумму кубов:
$x^3+y^3+z^3 = \sigma_1^3 - 3\sigma_1\sigma_2 + 3\sigma_3$.
Тождество доказано.
Ответ: $x^3 + y^3 + z^3 = \sigma_1^3 - 3\sigma_1\sigma_2 + 3\sigma_3$.

в) Докажем тождество $x^4 + y^4 + z^4 = \sigma_1^4 - 4\sigma_1^2\sigma_2 + 2\sigma_2^2 + 4\sigma_1\sigma_3$.
Для этого воспользуемся тождествами Ньютона для степенных сумм $p_k = x^k+y^k+z^k$. Связь между степенными суммами и элементарными симметрическими многочленами для трех переменных выражается рекуррентными формулами:
$p_1 = \sigma_1$
$p_2 = \sigma_1 p_1 - 2\sigma_2$
$p_3 = \sigma_1 p_2 - \sigma_2 p_1 + 3\sigma_3$
$p_4 = \sigma_1 p_3 - \sigma_2 p_2 + \sigma_3 p_1$
Используя результаты из пунктов а) и б), имеем:
$p_2 = \sigma_1^2 - 2\sigma_2$
$p_3 = \sigma_1(\sigma_1^2 - 2\sigma_2) - \sigma_2\sigma_1 + 3\sigma_3 = \sigma_1^3 - 3\sigma_1\sigma_2 + 3\sigma_3$.
Теперь вычислим $p_4$:
$p_4 = \sigma_1(\sigma_1^3 - 3\sigma_1\sigma_2 + 3\sigma_3) - \sigma_2(\sigma_1^2 - 2\sigma_2) + \sigma_3(\sigma_1)$
$p_4 = \sigma_1^4 - 3\sigma_1^2\sigma_2 + 3\sigma_1\sigma_3 - \sigma_1^2\sigma_2 + 2\sigma_2^2 + \sigma_1\sigma_3$
$p_4 = \sigma_1^4 - 4\sigma_1^2\sigma_2 + 2\sigma_2^2 + 4\sigma_1\sigma_3$.
Тождество доказано.
Ответ: $x^4 + y^4 + z^4 = \sigma_1^4 - 4\sigma_1^2\sigma_2 + 2\sigma_2^2 + 4\sigma_1\sigma_3$.

г) Докажем тождество $x^2y^2 + x^2z^2 + z^2y^2 = \sigma_2^2 - 2\sigma_1\sigma_3$.
Рассмотрим квадрат $\sigma_2$:
$\sigma_2^2 = (xy + yz + zx)^2$.
По формуле квадрата суммы трех слагаемых:
$(xy)^2 + (yz)^2 + (zx)^2 + 2(xy)(yz) + 2(yz)(zx) + 2(zx)(xy)$
$= x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2 + 2xy^2z + 2xyz^2 + 2x^2yz$.
Сгруппируем последние три слагаемых и вынесем общий множитель $2xyz$:
$x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2 + 2xyz(y+z+x)$.
Поскольку $x+y+z=\sigma_1$ и $xyz=\sigma_3$, выражение принимает вид:
$\sigma_2^2 = (x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2) + 2\sigma_1\sigma_3$.
Отсюда, выражая искомую сумму, получаем:
$x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2 = \sigma_2^2 - 2\sigma_1\sigma_3$.
Тождество доказано.
Ответ: $x^2y^2 + x^2z^2 + z^2y^2 = \sigma_2^2 - 2\sigma_1\sigma_3$.

д) Докажем тождество $x^2y + x^2z + y^2x + z^2x + y^2z + yz^2 = \sigma_1\sigma_2 - 3\sigma_3$.
Рассмотрим произведение $\sigma_1\sigma_2$:
$\sigma_1\sigma_2 = (x+y+z)(xy+yz+zx)$.
Раскроем скобки:
$x(xy+yz+zx) + y(xy+yz+zx) + z(xy+yz+zx)$
$= (x^2y + xyz + x^2z) + (xy^2 + y^2z + xyz) + (xyz + yz^2 + z^2x)$.
Соберем подобные члены:
$= (x^2y + x^2z + y^2x + y^2z + z^2x + z^2y) + 3xyz$.
Выражение в скобках является левой частью доказываемого тождества, а $3xyz = 3\sigma_3$.
Следовательно, $\sigma_1\sigma_2 = (x^2y + x^2z + y^2x + z^2x + y^2z + yz^2) + 3\sigma_3$.
Отсюда получаем:
$x^2y + x^2z + y^2x + z^2x + y^2z + yz^2 = \sigma_1\sigma_2 - 3\sigma_3$.
Тождество доказано.
Ответ: $x^2y + x^2z + y^2x + z^2x + y^2z + yz^2 = \sigma_1\sigma_2 - 3\sigma_3$.

е) Докажем тождество $x^3y + x^3z + y^3x + z^3x + y^3z + yz^3 = \sigma_1^2\sigma_2 - 2\sigma_2^2 - \sigma_1\sigma_3$.
Рассмотрим произведение степенной суммы $p_2 = x^2+y^2+z^2$ и многочлена $\sigma_2 = xy+yz+zx$:
$p_2 \sigma_2 = (x^2+y^2+z^2)(xy+yz+zx)$
$= x^2(xy+yz+zx) + y^2(xy+yz+zx) + z^2(xy+yz+zx)$
$= (x^3y + x^2yz + x^3z) + (xy^3 + y^3z + xy^2z) + (x^2yz + y^2z^2 + z^3x)$.
(в последнем слагаемом опечатка в раскрытии: $z^2(xy+yz+zx) = z^2xy+z^3y+z^3x$. Правильное раскрытие: $z^2(xy+yz+zx) = xz^2y+y z^3+z^3x$. Исправим раскрытие)
$p_2 \sigma_2 = (x^3y + x^2yz + x^3z) + (xy^3 + y^3z + y^2zx) + (z^2xy + yz^3 + xz^3)$
Сгруппируем слагаемые:
$= (x^3y + y^3x + x^3z + z^3x + y^3z + z^3y) + (x^2yz + xy^2z + xyz^2)$.
Выражение в первой скобке является левой частью доказываемого тождества. Выражение во второй скобке равно $xyz(x+y+z) = \sigma_3 \sigma_1$.
Таким образом, $p_2 \sigma_2 = (x^3y + ... + yz^3) + \sigma_1\sigma_3$.
Левая часть тождества равна $p_2 \sigma_2 - \sigma_1\sigma_3$.
Из пункта а) $p_2 = \sigma_1^2 - 2\sigma_2$. Подставим это выражение:
$p_2 \sigma_2 - \sigma_1\sigma_3 = (\sigma_1^2 - 2\sigma_2)\sigma_2 - \sigma_1\sigma_3 = \sigma_1^2\sigma_2 - 2\sigma_2^2 - \sigma_1\sigma_3$.
Это совпадает с правой частью тождества. Тождество доказано.
Ответ: $x^3y + x^3z + y^3x + z^3x + y^3z + yz^3 = \sigma_1^2\sigma_2 - 2\sigma_2^2 - \sigma_1\sigma_3$.