Номер 5.8, страница 137 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.8. Разложите на множители.

а) $2x^4 - x^3y + x^2y^2 - xy^3 + 2y^4;$

б) $3x^4 - 8x^3y + 14x^2y^2 - 8xy^3 + 3y^4;$

в) $(x + y + z)^3 - (x^3 + y^3 + z^3);$

г) $(x + y + z)^5 - (x^5 + y^5 + z^5).$

а) Данный многочлен $2x^4 - x^3y + x^2y^2 - xy^3 + 2y^4$ является однородным и симметричным относительно переменных $x$ и $y$. Сгруппируем слагаемые следующим образом:
$2x^4 + 2y^4 - x^3y - xy^3 + x^2y^2 = 2(x^4+y^4) - xy(x^2+y^2) + x^2y^2$.
Воспользуемся тождеством $x^4+y^4 = (x^2+y^2)^2 - 2x^2y^2$ для преобразования выражения:
$2((x^2+y^2)^2 - 2x^2y^2) - xy(x^2+y^2) + x^2y^2 = 2(x^2+y^2)^2 - 4x^2y^2 - xy(x^2+y^2) + x^2y^2$
$= 2(x^2+y^2)^2 - xy(x^2+y^2) - 3x^2y^2$.
Сделаем замену переменных. Пусть $A = x^2+y^2$ и $B = xy$. Выражение примет вид квадратного трехчлена относительно $A$ и $B$:
$2A^2 - AB - 3B^2$.
Разложим его на множители, представив средний член как $-3AB+2AB$:
$2A^2 - 3AB + 2AB - 3B^2 = A(2A-3B) + B(2A-3B) = (A+B)(2A-3B)$.
Теперь выполним обратную замену:
$(x^2+y^2+xy)(2(x^2+y^2)-3xy) = (x^2+xy+y^2)(2x^2+2y^2-3xy)$.
Переставим слагаемые для стандартного вида.
Ответ: $(x^2+xy+y^2)(2x^2-3xy+2y^2)$.

б) Многочлен $3x^4 - 8x^3y + 14x^2y^2 - 8xy^3 + 3y^4$ также является однородным и симметричным. Будем искать его разложение в виде произведения двух квадратных трехчленов. Учитывая симметрию, можно предположить, что множители имеют вид $(ax^2+bxy+cy^2)$ и $(cx^2+bxy+ay^2)$.
Их произведение равно: $(ax^2+bxy+cy^2)(cx^2+bxy+ay^2) = acx^4 + (ab+bc)x^3y + (a^2+b^2+c^2)x^2y^2 + (ab+bc)xy^3 + acy^4$.
Сравнивая коэффициенты этого выражения с коэффициентами исходного многочлена, получаем систему уравнений:
$ac = 3$
$b(a+c) = -8$
$a^2+b^2+c^2 = 14$
Из первого уравнения, предполагая целочисленные коэффициенты, можно взять $a=1$ и $c=3$. Тогда их сумма $a+c=4$.
Подставляя это во второе уравнение, получаем $b \cdot 4 = -8$, откуда $b=-2$.
Проверим, удовлетворяют ли найденные значения $a=1, c=3, b=-2$ третьему уравнению:
$a^2+b^2+c^2 = 1^2 + (-2)^2 + 3^2 = 1+4+9 = 14$.
Равенство выполняется, следовательно, коэффициенты найдены верно. Множители имеют вид:
$(1 \cdot x^2 - 2xy + 3y^2)$ и $(3x^2 - 2xy + 1 \cdot y^2)$.
Ответ: $(x^2-2xy+3y^2)(3x^2-2xy+y^2)$.

в) Рассмотрим выражение $(x+y+z)^3 - (x^3+y^3+z^3)$. Обозначим его $P(x,y,z)$.
Это симметричный многочлен. Проверим, что произойдет, если одна из переменных будет равна сумме двух других с противоположным знаком, например, $x = -y$.
$P(-y, y, z) = (-y+y+z)^3 - ((-y)^3+y^3+z^3) = z^3 - (-y^3+y^3+z^3) = z^3 - z^3 = 0$.
По теореме Безу, если многочлен обращается в ноль при $x=-y$, то он делится на $(x+y)$.
В силу симметрии, многочлен также делится на $(y+z)$ и $(z+x)$.
Таким образом, разложение должно иметь вид $P(x,y,z) = k(x+y)(y+z)(z+x)$, где $k$ - некоторая константа, так как степени многочленов слева и справа совпадают (равны 3).
Чтобы найти $k$, подставим произвольные значения, не обращающие множители в ноль, например, $x=1, y=1, z=0$.
Левая часть: $(1+1+0)^3 - (1^3+1^3+0^3) = 2^3 - (1+1) = 8-2 = 6$.
Правая часть: $k(1+1)(1+0)(0+1) = k \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1 = 2k$.
Приравнивая левую и правую части, получаем $2k=6$, откуда $k=3$.
Таким образом, искомое разложение: $3(x+y)(y+z)(z+x)$.
Этот результат также следует из известного тождества: $(x+y+z)^3 = x^3+y^3+z^3 + 3(x+y)(y+z)(z+x)$.
Ответ: $3(x+y)(y+z)(z+x)$.

г) Рассмотрим выражение $(x+y+z)^5 - (x^5+y^5+z^5)$. Обозначим его $Q(x,y,z)$.
Аналогично предыдущему пункту, можно показать, что при $x=-y$ (а также при $y=-z$ и $z=-x$) выражение обращается в ноль. Следовательно, $(x+y)$, $(y+z)$ и $(z+x)$ являются множителями.
$Q(x,y,z)$ - однородный симметричный многочлен 5-й степени. Произведение $(x+y)(y+z)(z+x)$ является однородным симметричным многочленом 3-й степени. Значит, оставшийся множитель должен быть однородным симметричным многочленом 2-й степени. Его общий вид: $A(x^2+y^2+z^2) + B(xy+yz+zx)$ для некоторых констант $A$ и $B$.
Итак, ищем разложение в виде: $Q(x,y,z) = (x+y)(y+z)(z+x) \cdot [A(x^2+y^2+z^2) + B(xy+yz+zx)]$.
Для нахождения коэффициентов $A$ и $B$ подставим в обе части равенства конкретные значения $x,y,z$.
1. Пусть $x=1, y=1, z=0$.
Левая часть: $(1+1+0)^5 - (1^5+1^5+0^5) = 2^5 - 2 = 32-2 = 30$.
Правая часть: $(1+1)(1+0)(0+1) \cdot [A(1^2+1^2+0^2) + B(1\cdot1+1\cdot0+0\cdot1)] = 2 \cdot [A(2)+B(1)] = 2(2A+B)$.
Получаем первое уравнение: $2(2A+B) = 30 \Rightarrow 2A+B=15$.
2. Пусть $x=1, y=1, z=1$.
Левая часть: $(1+1+1)^5 - (1^5+1^5+1^5) = 3^5 - 3 = 243-3 = 240$.
Правая часть: $(1+1)(1+1)(1+1) \cdot [A(1^2+1^2+1^2) + B(1\cdot1+1\cdot1+1\cdot1)] = 8 \cdot [A(3)+B(3)] = 24(A+B)$.
Получаем второе уравнение: $24(A+B) = 240 \Rightarrow A+B=10$.
Решаем систему линейных уравнений:
$ \begin{cases} 2A+B=15 \\ A+B=10 \end{cases} $
Вычитая второе уравнение из первого, получаем: $(2A+B)-(A+B) = 15-10 \Rightarrow A=5$.
Подставляя $A=5$ во второе уравнение, находим $B$: $5+B=10 \Rightarrow B=5$.
Таким образом, второй множитель равен $5(x^2+y^2+z^2) + 5(xy+yz+zx) = 5(x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx)$.
Ответ: $5(x+y)(y+z)(z+x)(x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx)$.