Номер 5.11, страница 138 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.11. Используя условие предыдущей задачи, решите задачи.

a) $x^2 - 7x + 10 = 0, x_1 = \alpha^3, x_2 = \beta^3;$

б) $2x^2 - 7x - 3 = 0, x_1 = \alpha + \frac{1}{\beta}, x_2 = \beta + \frac{1}{\alpha};$

в) $4x^2 - 6x - 1 = 0, x_1 = \frac{2}{\alpha^3} - 1, x_2 = \frac{2}{\beta^3} - 1;$

г) $3x^2 + 7x + 4 = 0, x_1 = \frac{\alpha}{\beta-1}, x_2 = \frac{\beta}{\alpha-1}.$

а) Пусть $\alpha$ и $\beta$ — корни исходного уравнения $x^2 - 7x + 10 = 0$. По теореме Виета:
$\alpha + \beta = 7$
$\alpha \beta = 10$
Требуется составить квадратное уравнение с корнями $x_1 = \alpha^3$ и $x_2 = \beta^3$.
Для нового уравнения $y^2 + py + q = 0$, коэффициенты $p$ и $q$ находятся через сумму и произведение его корней:
$S = x_1 + x_2 = \alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha + \beta) = 7^3 - 3 \cdot 10 \cdot 7 = 343 - 210 = 133$.
$P = x_1 x_2 = \alpha^3 \beta^3 = (\alpha\beta)^3 = 10^3 = 1000$.
Новое уравнение имеет вид $y^2 - S y + P = 0$, то есть $y^2 - 133y + 1000 = 0$. Используя переменную $x$, получаем искомое уравнение.
Ответ: $x^2 - 133x + 1000 = 0$.

б) Пусть $\alpha$ и $\beta$ — корни исходного уравнения $2x^2 - 7x - 3 = 0$. По теореме Виета:
$\alpha + \beta = -(-7)/2 = 7/2$
$\alpha \beta = -3/2$
Требуется составить квадратное уравнение с корнями $x_1 = \alpha + \frac{1}{\beta}$ и $x_2 = \beta + \frac{1}{\alpha}$.
Найдем сумму $S$ и произведение $P$ новых корней:
$S = x_1 + x_2 = \left(\alpha + \frac{1}{\beta}\right) + \left(\beta + \frac{1}{\alpha}\right) = (\alpha + \beta) + \left(\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}\right) = (\alpha + \beta) + \frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}$.
$S = \frac{7}{2} + \frac{7/2}{-3/2} = \frac{7}{2} - \frac{7}{3} = \frac{21-14}{6} = \frac{7}{6}$.
$P = x_1 x_2 = \left(\alpha + \frac{1}{\beta}\right)\left(\beta + \frac{1}{\alpha}\right) = \alpha\beta + 1 + 1 + \frac{1}{\alpha\beta} = \alpha\beta + 2 + \frac{1}{\alpha\beta}$.
$P = -\frac{3}{2} + 2 + \frac{1}{-3/2} = -\frac{3}{2} + 2 - \frac{2}{3} = \frac{-9+12-4}{6} = -\frac{1}{6}$.
Новое уравнение имеет вид $y^2 - Sy + P = 0$, то есть $y^2 - \frac{7}{6}y - \frac{1}{6} = 0$. Умножив на 6, получим уравнение с целыми коэффициентами.
Ответ: $6x^2 - 7x - 1 = 0$.

в) Пусть $\alpha$ и $\beta$ — корни исходного уравнения $4x^2 - 6x - 1 = 0$. По теореме Виета:
$\alpha + \beta = -(-6)/4 = 3/2$
$\alpha \beta = -1/4$
Требуется составить квадратное уравнение с корнями $x_1 = \frac{2}{\alpha^3} - 1$ и $x_2 = \frac{2}{\beta^3} - 1$.
Найдем сумму $S$ и произведение $P$ новых корней:
$S = x_1 + x_2 = \left(\frac{2}{\alpha^3} - 1\right) + \left(\frac{2}{\beta^3} - 1\right) = 2\left(\frac{1}{\alpha^3} + \frac{1}{\beta^3}\right) - 2 = 2\frac{\alpha^3 + \beta^3}{(\alpha\beta)^3} - 2$.
Вычислим $\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha + \beta) = (3/2)^3 - 3(-1/4)(3/2) = 27/8 + 9/8 = 36/8 = 9/2$.
Тогда $S = 2 \cdot \frac{9/2}{(-1/4)^3} - 2 = 2 \cdot \frac{9/2}{-1/64} - 2 = 9 \cdot (-64) - 2 = -576 - 2 = -578$.
$P = x_1 x_2 = \left(\frac{2}{\alpha^3} - 1\right)\left(\frac{2}{\beta^3} - 1\right) = \frac{4}{\alpha^3\beta^3} - 2\left(\frac{1}{\alpha^3} + \frac{1}{\beta^3}\right) + 1 = \frac{4}{(\alpha\beta)^3} - 2\frac{\alpha^3+\beta^3}{(\alpha\beta)^3} + 1$.
$P = \frac{4 - 2(9/2)}{(-1/64)} + 1 = \frac{4-9}{-1/64} + 1 = \frac{-5}{-1/64} + 1 = 320 + 1 = 321$.
Новое уравнение имеет вид $y^2 - Sy + P = 0$, то есть $y^2 - (-578)y + 321 = 0$.
Ответ: $x^2 + 578x + 321 = 0$.

г) Пусть $\alpha$ и $\beta$ — корни исходного уравнения $3x^2 + 7x + 4 = 0$. По теореме Виета:
$\alpha + \beta = -7/3$
$\alpha \beta = 4/3$
Требуется составить квадратное уравнение с корнями $x_1 = \frac{\alpha}{\beta-1}$ и $x_2 = \frac{\beta}{\alpha-1}$.
Найдем сумму $S$ и произведение $P$ новых корней:
$S = x_1 + x_2 = \frac{\alpha}{\beta-1} + \frac{\beta}{\alpha-1} = \frac{\alpha(\alpha-1) + \beta(\beta-1)}{(\alpha-1)(\beta-1)} = \frac{\alpha^2 + \beta^2 - (\alpha+\beta)}{\alpha\beta - (\alpha+\beta) + 1}$.
Знаменатель: $\alpha\beta - (\alpha+\beta) + 1 = 4/3 - (-7/3) + 1 = 11/3 + 1 = 14/3$.
Числитель: $\alpha^2 + \beta^2 - (\alpha+\beta) = ((\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta) - (\alpha+\beta) = ((-7/3)^2 - 2(4/3)) - (-7/3) = (49/9 - 8/3) + 7/3 = (49/9 - 24/9) + 21/9 = 25/9 + 21/9 = 46/9$.
$S = \frac{46/9}{14/3} = \frac{46}{9} \cdot \frac{3}{14} = \frac{23}{21}$.
$P = x_1 x_2 = \frac{\alpha\beta}{(\alpha-1)(\beta-1)} = \frac{4/3}{14/3} = \frac{4}{14} = \frac{2}{7}$.
Новое уравнение имеет вид $y^2 - Sy + P = 0$, то есть $y^2 - \frac{23}{21}y + \frac{2}{7} = 0$. Умножив на 21, получим уравнение с целыми коэффициентами.
Ответ: $21x^2 - 23x + 6 = 0$.