Страница 138 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.9. Докажите тождество:

a) $(x + y)(x + z)(z + y) + xyz = (x + y + z)(xy + xz + yz);$

б) $(a^2 + b^2 + c^2 + ab + ac + bc)^2 - (a + b + c)^2(a^2 + b^2 + c^2) = (ab + ac + bc)^2;$

в) $y^2z^2(y^2 - z^2) + x^2z^2(z^2 - x^2) + x^2y^2(x^2 - y^2)= (x + y)(x + z)(z + y)(x - z)(y - z)(x - y);$

г) $a(b^2 - c^2) + b(c^2 - a^2) + c(a^2 - b^2) = (a - b)(b - c)(c - a).$

а) Для доказательства тождества преобразуем обе его части и покажем, что они равны одному и тому же выражению.

Преобразуем левую часть (ЛЧ):

ЛЧ $= (x + y)(x + z)(y + z) + xyz = (x^2 + xy + xz + yz)(y + z) + xyz$

$= (x^2y + x^2z + xy^2 + xyz + xyz + xz^2 + y^2z + yz^2) + xyz$

$= x^2y + x^2z + xy^2 + xz^2 + y^2z + yz^2 + 3xyz$

Преобразуем правую часть (ПЧ):

ПЧ $= (x + y + z)(xy + xz + yz) = x(xy + xz + yz) + y(xy + xz + yz) + z(xy + xz + yz)$

$= (x^2y + x^2z + xyz) + (xy^2 + xyz + y^2z) + (xyz + xz^2 + yz^2)$

$= x^2y + x^2z + xy^2 + xz^2 + y^2z + yz^2 + 3xyz$

Так как ЛЧ = ПЧ, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

б) Для доказательства преобразуем исходное тождество. Перенесем слагаемое $(a + b + c)^2(a^2 + b^2 + c^2)$ в левую часть, а $(ab + ac + bc)^2$ в правую:

$(a^2 + b^2 + c^2 + ab + ac + bc)^2 - (a + b + c)^2(a^2 + b^2 + c^2) = (ab + ac + bc)^2$

Перенесем $(ab + ac + bc)^2$ в левую часть:

$(a^2 + b^2 + c^2 + ab + ac + bc)^2 - (ab + ac + bc)^2 = (a + b + c)^2(a^2 + b^2 + c^2)$

Применим к левой части (ЛЧ) формулу разности квадратов $X^2 - Y^2 = (X - Y)(X + Y)$, где $X = a^2 + b^2 + c^2 + ab + ac + bc$ и $Y = ab + ac + bc$.

ЛЧ $= ((a^2 + b^2 + c^2 + ab + ac + bc) - (ab + ac + bc)) \cdot ((a^2 + b^2 + c^2 + ab + ac + bc) + (ab + ac + bc))$

$= (a^2 + b^2 + c^2) \cdot (a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc)$

Выражение во второй скобке является полным квадратом суммы: $a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc = (a + b + c)^2$.

Следовательно, ЛЧ $= (a^2 + b^2 + c^2)(a + b + c)^2$.

Полученное выражение совпадает с правой частью преобразованного тождества. Таким образом, исходное тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

в) Преобразуем левую и правую части тождества.

Левая часть (ЛЧ): $y^2z^2(y^2 - z^2) + x^2z^2(z^2 - x^2) + x^2y^2(x^2 - y^2)$.

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые по степеням $x$:

ЛЧ $= y^4z^2 - y^2z^4 + x^2z^4 - x^4z^2 + x^4y^2 - x^2y^4 = x^4(y^2 - z^2) - x^2(y^4 - z^4) + y^2z^2(y^2 - z^2)$

Используя формулу разности квадратов $y^4 - z^4 = (y^2 - z^2)(y^2 + z^2)$, вынесем общий множитель $(y^2-z^2)$:

ЛЧ $= (y^2 - z^2) [x^4 - x^2(y^2 + z^2) + y^2z^2]$

Разложим на множители выражение в квадратных скобках:

$x^4 - x^2y^2 - x^2z^2 + y^2z^2 = x^2(x^2 - y^2) - z^2(x^2 - y^2) = (x^2 - y^2)(x^2 - z^2)$

Таким образом, ЛЧ $= (y^2 - z^2)(x^2 - y^2)(x^2 - z^2)$.

Правая часть (ПЧ): $(x + y)(x + z)(z + y)(x - z)(y - z)(x - y)$.

Сгруппируем множители парами, чтобы применить формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

ПЧ $= [(x+y)(x-y)] \cdot [(z+y)(y-z)] \cdot [(x+z)(x-z)] = (x^2 - y^2)(y^2 - z^2)(x^2 - z^2)$

Так как ЛЧ = ПЧ, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

г) Преобразуем левую часть тождества (ЛЧ) путем разложения на множители.

ЛЧ $= a(b^2 - c^2) + b(c^2 - a^2) + c(a^2 - b^2) = ab^2 - ac^2 + bc^2 - ba^2 + ca^2 - cb^2$.

Сгруппируем слагаемые по убывающим степеням переменной $a$:

ЛЧ $= (ca^2 - ba^2) + (ab^2 - ac^2) + (bc^2 - b^2c) = a^2(c - b) + a(b^2 - c^2) + bc(c-b)$

Вынесем общий множитель $(b-c)$ за скобки, изменив знаки где необходимо:

ЛЧ $= -a^2(b - c) + a(b - c)(b + c) - bc(b - c)$

$= (b - c) [-a^2 + a(b + c) - bc] = (b - c)[-a^2 + ab + ac - bc]$

Разложим на множители выражение в квадратных скобках:

$-a^2 + ab + ac - bc = a(b-a) + c(a-b) = -a(a-b) + c(a-b) = (c-a)(a-b)$

Таким образом, ЛЧ $= (b-c)(c-a)(a-b)$.

Переставив множители, получим правую часть тождества:

ЛЧ $= (a-b)(b-c)(c-a)$

Полученное выражение совпадает с правой частью, следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

5.10. Дано уравнение $4x^2 - 6x - 1 = 0$. Не вычисляя его корни $\alpha$ и $\beta$, составьте квадратное уравнение с корнями $x_1 = \frac{\alpha}{\beta} + 1$ и $x_2 = \frac{\beta}{\alpha} + 1$.

Для заданного квадратного уравнения $4x^2 - 6x - 1 = 0$ с корнями $\alpha$ и $\beta$ воспользуемся теоремой Виета. Теорема Виета для уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ устанавливает связь между его корнями и коэффициентами:

Сумма корней: $\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$.

Произведение корней: $\alpha\beta = \frac{c}{a}$.

Для нашего уравнения коэффициенты равны $a=4$, $b=-6$, $c=-1$. Следовательно:

$\alpha + \beta = -\frac{-6}{4} = \frac{3}{2}$

$\alpha\beta = \frac{-1}{4}$

Теперь составим новое квадратное уравнение с корнями $x_1 = \frac{\alpha}{\beta} + 1$ и $x_2 = \frac{\beta}{\alpha} + 1$. Любое приведенное квадратное уравнение с корнями $x_1$ и $x_2$ можно записать в виде $x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0$. Для этого нам необходимо найти сумму и произведение новых корней, выразив их через $\alpha + \beta$ и $\alpha\beta$.

Найдем сумму новых корней $x_1 + x_2$:

$x_1 + x_2 = \left(\frac{\alpha}{\beta} + 1\right) + \left(\frac{\beta}{\alpha} + 1\right) = \frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha} + 2 = \frac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha\beta} + 2$.

Используем тождество $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta$, чтобы выразить числитель через известные нам сумму и произведение корней $\alpha$ и $\beta$:

$\alpha^2 + \beta^2 = \left(\frac{3}{2}\right)^2 - 2\left(-\frac{1}{4}\right) = \frac{9}{4} + \frac{2}{4} = \frac{11}{4}$.

Теперь подставим это значение обратно в выражение для суммы $x_1 + x_2$:

$x_1 + x_2 = \frac{11/4}{-1/4} + 2 = -11 + 2 = -9$.

Далее найдем произведение новых корней $x_1 \cdot x_2$:

$x_1 \cdot x_2 = \left(\frac{\alpha}{\beta} + 1\right) \left(\frac{\beta}{\alpha} + 1\right) = \frac{\alpha}{\beta} \cdot \frac{\beta}{\alpha} + \frac{\alpha}{\beta} \cdot 1 + 1 \cdot \frac{\beta}{\alpha} + 1 \cdot 1 = 1 + \frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha} + 1 = 2 + \frac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha\beta}$.

Значение дроби $\frac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha\beta}$ мы уже вычислили, оно равно $\frac{11/4}{-1/4} = -11$.

$x_1 \cdot x_2 = 2 + (-11) = -9$.

Теперь, зная сумму ($x_1+x_2=-9$) и произведение ($x_1x_2=-9$) новых корней, мы можем составить искомое квадратное уравнение по обратной теореме Виета:

$x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0$

$x^2 - (-9)x + (-9) = 0$

$x^2 + 9x - 9 = 0$

Ответ: $x^2 + 9x - 9 = 0$.

5.11. Используя условие предыдущей задачи, решите задачи.

a) $x^2 - 7x + 10 = 0, x_1 = \alpha^3, x_2 = \beta^3;$

б) $2x^2 - 7x - 3 = 0, x_1 = \alpha + \frac{1}{\beta}, x_2 = \beta + \frac{1}{\alpha};$

в) $4x^2 - 6x - 1 = 0, x_1 = \frac{2}{\alpha^3} - 1, x_2 = \frac{2}{\beta^3} - 1;$

г) $3x^2 + 7x + 4 = 0, x_1 = \frac{\alpha}{\beta-1}, x_2 = \frac{\beta}{\alpha-1}.$

а) Пусть $\alpha$ и $\beta$ — корни исходного уравнения $x^2 - 7x + 10 = 0$. По теореме Виета:
$\alpha + \beta = 7$
$\alpha \beta = 10$
Требуется составить квадратное уравнение с корнями $x_1 = \alpha^3$ и $x_2 = \beta^3$.
Для нового уравнения $y^2 + py + q = 0$, коэффициенты $p$ и $q$ находятся через сумму и произведение его корней:
$S = x_1 + x_2 = \alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha + \beta) = 7^3 - 3 \cdot 10 \cdot 7 = 343 - 210 = 133$.
$P = x_1 x_2 = \alpha^3 \beta^3 = (\alpha\beta)^3 = 10^3 = 1000$.
Новое уравнение имеет вид $y^2 - S y + P = 0$, то есть $y^2 - 133y + 1000 = 0$. Используя переменную $x$, получаем искомое уравнение.
Ответ: $x^2 - 133x + 1000 = 0$.

б) Пусть $\alpha$ и $\beta$ — корни исходного уравнения $2x^2 - 7x - 3 = 0$. По теореме Виета:
$\alpha + \beta = -(-7)/2 = 7/2$
$\alpha \beta = -3/2$
Требуется составить квадратное уравнение с корнями $x_1 = \alpha + \frac{1}{\beta}$ и $x_2 = \beta + \frac{1}{\alpha}$.
Найдем сумму $S$ и произведение $P$ новых корней:
$S = x_1 + x_2 = \left(\alpha + \frac{1}{\beta}\right) + \left(\beta + \frac{1}{\alpha}\right) = (\alpha + \beta) + \left(\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}\right) = (\alpha + \beta) + \frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}$.
$S = \frac{7}{2} + \frac{7/2}{-3/2} = \frac{7}{2} - \frac{7}{3} = \frac{21-14}{6} = \frac{7}{6}$.
$P = x_1 x_2 = \left(\alpha + \frac{1}{\beta}\right)\left(\beta + \frac{1}{\alpha}\right) = \alpha\beta + 1 + 1 + \frac{1}{\alpha\beta} = \alpha\beta + 2 + \frac{1}{\alpha\beta}$.
$P = -\frac{3}{2} + 2 + \frac{1}{-3/2} = -\frac{3}{2} + 2 - \frac{2}{3} = \frac{-9+12-4}{6} = -\frac{1}{6}$.
Новое уравнение имеет вид $y^2 - Sy + P = 0$, то есть $y^2 - \frac{7}{6}y - \frac{1}{6} = 0$. Умножив на 6, получим уравнение с целыми коэффициентами.
Ответ: $6x^2 - 7x - 1 = 0$.

в) Пусть $\alpha$ и $\beta$ — корни исходного уравнения $4x^2 - 6x - 1 = 0$. По теореме Виета:
$\alpha + \beta = -(-6)/4 = 3/2$
$\alpha \beta = -1/4$
Требуется составить квадратное уравнение с корнями $x_1 = \frac{2}{\alpha^3} - 1$ и $x_2 = \frac{2}{\beta^3} - 1$.
Найдем сумму $S$ и произведение $P$ новых корней:
$S = x_1 + x_2 = \left(\frac{2}{\alpha^3} - 1\right) + \left(\frac{2}{\beta^3} - 1\right) = 2\left(\frac{1}{\alpha^3} + \frac{1}{\beta^3}\right) - 2 = 2\frac{\alpha^3 + \beta^3}{(\alpha\beta)^3} - 2$.
Вычислим $\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha + \beta) = (3/2)^3 - 3(-1/4)(3/2) = 27/8 + 9/8 = 36/8 = 9/2$.
Тогда $S = 2 \cdot \frac{9/2}{(-1/4)^3} - 2 = 2 \cdot \frac{9/2}{-1/64} - 2 = 9 \cdot (-64) - 2 = -576 - 2 = -578$.
$P = x_1 x_2 = \left(\frac{2}{\alpha^3} - 1\right)\left(\frac{2}{\beta^3} - 1\right) = \frac{4}{\alpha^3\beta^3} - 2\left(\frac{1}{\alpha^3} + \frac{1}{\beta^3}\right) + 1 = \frac{4}{(\alpha\beta)^3} - 2\frac{\alpha^3+\beta^3}{(\alpha\beta)^3} + 1$.
$P = \frac{4 - 2(9/2)}{(-1/64)} + 1 = \frac{4-9}{-1/64} + 1 = \frac{-5}{-1/64} + 1 = 320 + 1 = 321$.
Новое уравнение имеет вид $y^2 - Sy + P = 0$, то есть $y^2 - (-578)y + 321 = 0$.
Ответ: $x^2 + 578x + 321 = 0$.

г) Пусть $\alpha$ и $\beta$ — корни исходного уравнения $3x^2 + 7x + 4 = 0$. По теореме Виета:
$\alpha + \beta = -7/3$
$\alpha \beta = 4/3$
Требуется составить квадратное уравнение с корнями $x_1 = \frac{\alpha}{\beta-1}$ и $x_2 = \frac{\beta}{\alpha-1}$.
Найдем сумму $S$ и произведение $P$ новых корней:
$S = x_1 + x_2 = \frac{\alpha}{\beta-1} + \frac{\beta}{\alpha-1} = \frac{\alpha(\alpha-1) + \beta(\beta-1)}{(\alpha-1)(\beta-1)} = \frac{\alpha^2 + \beta^2 - (\alpha+\beta)}{\alpha\beta - (\alpha+\beta) + 1}$.
Знаменатель: $\alpha\beta - (\alpha+\beta) + 1 = 4/3 - (-7/3) + 1 = 11/3 + 1 = 14/3$.
Числитель: $\alpha^2 + \beta^2 - (\alpha+\beta) = ((\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta) - (\alpha+\beta) = ((-7/3)^2 - 2(4/3)) - (-7/3) = (49/9 - 8/3) + 7/3 = (49/9 - 24/9) + 21/9 = 25/9 + 21/9 = 46/9$.
$S = \frac{46/9}{14/3} = \frac{46}{9} \cdot \frac{3}{14} = \frac{23}{21}$.
$P = x_1 x_2 = \frac{\alpha\beta}{(\alpha-1)(\beta-1)} = \frac{4/3}{14/3} = \frac{4}{14} = \frac{2}{7}$.
Новое уравнение имеет вид $y^2 - Sy + P = 0$, то есть $y^2 - \frac{23}{21}y + \frac{2}{7} = 0$. Умножив на 21, получим уравнение с целыми коэффициентами.
Ответ: $21x^2 - 23x + 6 = 0$.

5.12. Упростите выражение:

a) $ \frac{a^3 + b^3 + c^3 - 3abc}{(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2} $

б) $ \frac{bc - a^2 + ac - b^2 + ab - c^2}{a(bc - a^2) + b(ac - b^2) + c(ab - c^2)} $

а) Рассмотрим выражение $ \frac{a^3 + b^3 + c^3 - 3abc}{(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2} $.

Упростим числитель и знаменатель по отдельности.

Числитель представляет собой известное тождество – формулу разложения суммы кубов трех переменных:

$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$

Теперь упростим знаменатель, раскрыв скобки, используя формулу квадрата разности:

$(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 = (a^2 - 2ab + b^2) + (b^2 - 2bc + c^2) + (c^2 - 2ca + a^2)$

Сгруппируем подобные слагаемые:

$= 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ca = 2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$

Теперь подставим упрощенные выражения обратно в дробь:

$ \frac{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)}{2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)} $

Сократим общий множитель $(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$, при условии, что он не равен нулю (то есть, переменные $a, b, c$ не равны все между собой).

В результате получаем:

$ \frac{a+b+c}{2} $

Ответ: $ \frac{a+b+c}{2} $

б) Рассмотрим выражение $ \frac{bc - a^2 + ac - b^2 + ab - c^2}{a(bc-a^2) + b(ac-b^2) + c(ab-c^2)} $.

Сначала преобразуем числитель, сгруппировав слагаемые:

$bc - a^2 + ac - b^2 + ab - c^2 = (ab+bc+ac) - (a^2+b^2+c^2) = -(a^2+b^2+c^2 - ab-bc-ca)$

Теперь преобразуем знаменатель, раскрыв скобки:

$a(bc-a^2) + b(ac-b^2) + c(ab-c^2) = abc - a^3 + abc - b^3 + abc - c^3$

Сгруппируем подобные слагаемые:

$= 3abc - a^3 - b^3 - c^3 = -(a^3+b^3+c^3-3abc)$

Подставим преобразованные числитель и знаменатель в исходную дробь:

$ \frac{-(a^2+b^2+c^2 - ab-bc-ca)}{-(a^3+b^3+c^3-3abc)} = \frac{a^2+b^2+c^2 - ab-bc-ca}{a^3+b^3+c^3-3abc} $

Используем тождество для знаменателя, которое мы применяли в пункте а):

$a^3+b^3+c^3-3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$

Подставим это разложение в наше выражение:

$ \frac{a^2+b^2+c^2 - ab-bc-ca}{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2 - ab-bc-ca)} $

Сократим общий множитель $(a^2+b^2+c^2 - ab-bc-ca)$, предполагая, что он не равен нулю.

В итоге получаем:

$ \frac{1}{a+b+c} $

Ответ: $ \frac{1}{a+b+c} $

5.13. Зная, что $a + b + c = 0$, докажите тождество:

а) $a^3 + b^3 + c^3 + 3(a + b)(a + c)(b + c) = 0$;

б) $a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$;

в) $a^4 + b^4 + c^4 = 2(a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2)$;

г) $2(a^4 + b^4 + c^4) = (a^2 + b^2 + c^2)^2$.

а) Докажем тождество $a^3 + b^3 + c^3 + 3(a + b)(a + c)(b + c) = 0$, используя условие $a + b + c = 0$.
Из условия следует, что:
$a + b = -c$
$a + c = -b$
$b + c = -a$
Подставим эти выражения в левую часть доказываемого тождества:
$a^3 + b^3 + c^3 + 3(-c)(-b)(-a) = a^3 + b^3 + c^3 - 3abc$.
Воспользуемся известным тождеством разложения на множители:
$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc)$.
Так как по условию $a + b + c = 0$, то правая часть этого тождества равна нулю:
$(0) \cdot (a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc) = 0$.
Следовательно, $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 0$, а значит и исходное выражение в левой части равно нулю, что и требовалось доказать.
Ответ: Тождество доказано.

б) Докажем тождество $a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$.
Это тождество является прямым следствием тождества $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc)$.
Так как по условию $a + b + c = 0$, то $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 0$.
Перенеся слагаемое $-3abc$ в правую часть, получаем требуемое тождество:
$a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$.
Что и требовалось доказать.
Ответ: Тождество доказано.

в) Докажем тождество $a^4 + b^4 + c^4 = 2(a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2)$.
Начнем с условия $a + b + c = 0$. Возведем обе части в квадрат:
$(a + b + c)^2 = 0^2$
$a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + ac + bc) = 0$.
Отсюда получим $a^2 + b^2 + c^2 = -2(ab + ac + bc)$.
Возведем последнее равенство в квадрат:
$(a^2 + b^2 + c^2)^2 = (-2(ab + ac + bc))^2$
$(a^2 + b^2 + c^2)^2 = 4(ab + ac + bc)^2$.
Раскроем скобки в обеих частях.
Левая часть: $(a^2 + b^2 + c^2)^2 = a^4 + b^4 + c^4 + 2(a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2)$.
Для правой части сначала раскроем $(ab + ac + bc)^2$:
$(ab + ac + bc)^2 = a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2 + 2(a^2bc + ab^2c + abc^2)$
$= a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2 + 2abc(a+b+c)$.
Так как $a+b+c=0$, это выражение упрощается до $a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2$.
Значит, правая часть нашего равенства равна $4(a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2)$.
Приравняем преобразованные левую и правую части:
$a^4 + b^4 + c^4 + 2(a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2) = 4(a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2)$.
Вычтем $2(a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2)$ из обеих частей:
$a^4 + b^4 + c^4 = 2(a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2)$.
Что и требовалось доказать.
Ответ: Тождество доказано.

г) Докажем тождество $2(a^4 + b^4 + c^4) = (a^2 + b^2 + c^2)^2$.
Это тождество тесно связано с тождеством из пункта в).
Рассмотрим правую часть равенства и раскроем скобки по формуле квадрата суммы трех членов:
$(a^2 + b^2 + c^2)^2 = (a^2)^2 + (b^2)^2 + (c^2)^2 + 2a^2b^2 + 2a^2c^2 + 2b^2c^2$
$(a^2 + b^2 + c^2)^2 = a^4 + b^4 + c^4 + 2(a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2)$.
Из тождества, доказанного в пункте в), мы знаем, что при $a+b+c=0$ выполняется равенство:
$a^4 + b^4 + c^4 = 2(a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2)$.
Подставим это выражение в раскрытую формулу квадрата суммы:
$(a^2 + b^2 + c^2)^2 = (a^4 + b^4 + c^4) + (a^4 + b^4 + c^4)$.
$(a^2 + b^2 + c^2)^2 = 2(a^4 + b^4 + c^4)$.
Что и требовалось доказать.
Ответ: Тождество доказано.

5.14. Докажите тождество $(p - a)^3 + (p - b)^3 + (p - c)^3 + 3abc = p^3$,

приняв $p = \frac{a+b+c}{2}$.

Для доказательства данного тождества введем следующие замены:

$x = p - a$

$y = p - b$

$z = p - c$

Найдем сумму этих трех переменных. Учитывая, что по условию $p = \frac{a+b+c}{2}$, что эквивалентно $2p = a+b+c$, получим:

$x + y + z = (p - a) + (p - b) + (p - c) = 3p - (a+b+c) = 3p - 2p = p$

Теперь воспользуемся известным алгебраическим тождеством для куба суммы:

$(x+y+z)^3 = x^3 + y^3 + z^3 + 3(x+y)(y+z)(z+x)$

Поскольку мы установили, что $x+y+z=p$, тождество можно переписать в виде:

$p^3 = x^3 + y^3 + z^3 + 3(x+y)(y+z)(z+x)$

Рассмотрим произведение $(x+y)(y+z)(z+x)$. Выразим каждый сомножитель через $a, b$ и $c$, используя равенство $2p = a+b+c$:

$x+y = (p-a)+(p-b) = 2p-(a+b) = (a+b+c)-(a+b) = c$

$y+z = (p-b)+(p-c) = 2p-(b+c) = (a+b+c)-(b+c) = a$

$z+x = (p-c)+(p-a) = 2p-(c+a) = (a+b+c)-(c+a) = b$

Таким образом, произведение равно:

$(x+y)(y+z)(z+x) = c \cdot a \cdot b = abc$

Подставим полученный результат обратно в тождество:

$p^3 = x^3 + y^3 + z^3 + 3abc$

Наконец, выполним обратную замену, подставив вместо $x, y, z$ их первоначальные выражения:

$p^3 = (p - a)^3 + (p - b)^3 + (p - c)^3 + 3abc$

Мы получили исходное тождество, поменяв местами левую и правую части, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество $(p - a)^3 + (p - b)^3 + (p - c)^3 + 3abc = p^3$ доказано.