Номер 5.10, страница 138 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.10. Дано уравнение $4x^2 - 6x - 1 = 0$. Не вычисляя его корни $\alpha$ и $\beta$, составьте квадратное уравнение с корнями $x_1 = \frac{\alpha}{\beta} + 1$ и $x_2 = \frac{\beta}{\alpha} + 1$.

Для заданного квадратного уравнения $4x^2 - 6x - 1 = 0$ с корнями $\alpha$ и $\beta$ воспользуемся теоремой Виета. Теорема Виета для уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ устанавливает связь между его корнями и коэффициентами:

Сумма корней: $\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$.

Произведение корней: $\alpha\beta = \frac{c}{a}$.

Для нашего уравнения коэффициенты равны $a=4$, $b=-6$, $c=-1$. Следовательно:

$\alpha + \beta = -\frac{-6}{4} = \frac{3}{2}$

$\alpha\beta = \frac{-1}{4}$

Теперь составим новое квадратное уравнение с корнями $x_1 = \frac{\alpha}{\beta} + 1$ и $x_2 = \frac{\beta}{\alpha} + 1$. Любое приведенное квадратное уравнение с корнями $x_1$ и $x_2$ можно записать в виде $x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0$. Для этого нам необходимо найти сумму и произведение новых корней, выразив их через $\alpha + \beta$ и $\alpha\beta$.

Найдем сумму новых корней $x_1 + x_2$:

$x_1 + x_2 = \left(\frac{\alpha}{\beta} + 1\right) + \left(\frac{\beta}{\alpha} + 1\right) = \frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha} + 2 = \frac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha\beta} + 2$.

Используем тождество $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta$, чтобы выразить числитель через известные нам сумму и произведение корней $\alpha$ и $\beta$:

$\alpha^2 + \beta^2 = \left(\frac{3}{2}\right)^2 - 2\left(-\frac{1}{4}\right) = \frac{9}{4} + \frac{2}{4} = \frac{11}{4}$.

Теперь подставим это значение обратно в выражение для суммы $x_1 + x_2$:

$x_1 + x_2 = \frac{11/4}{-1/4} + 2 = -11 + 2 = -9$.

Далее найдем произведение новых корней $x_1 \cdot x_2$:

$x_1 \cdot x_2 = \left(\frac{\alpha}{\beta} + 1\right) \left(\frac{\beta}{\alpha} + 1\right) = \frac{\alpha}{\beta} \cdot \frac{\beta}{\alpha} + \frac{\alpha}{\beta} \cdot 1 + 1 \cdot \frac{\beta}{\alpha} + 1 \cdot 1 = 1 + \frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha} + 1 = 2 + \frac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha\beta}$.

Значение дроби $\frac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha\beta}$ мы уже вычислили, оно равно $\frac{11/4}{-1/4} = -11$.

$x_1 \cdot x_2 = 2 + (-11) = -9$.

Теперь, зная сумму ($x_1+x_2=-9$) и произведение ($x_1x_2=-9$) новых корней, мы можем составить искомое квадратное уравнение по обратной теореме Виета:

$x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0$

$x^2 - (-9)x + (-9) = 0$

$x^2 + 9x - 9 = 0$

Ответ: $x^2 + 9x - 9 = 0$.