Номер 5.12, страница 138 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.12. Упростите выражение:

a) $ \frac{a^3 + b^3 + c^3 - 3abc}{(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2} $

б) $ \frac{bc - a^2 + ac - b^2 + ab - c^2}{a(bc - a^2) + b(ac - b^2) + c(ab - c^2)} $

а) Рассмотрим выражение $ \frac{a^3 + b^3 + c^3 - 3abc}{(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2} $.

Упростим числитель и знаменатель по отдельности.

Числитель представляет собой известное тождество – формулу разложения суммы кубов трех переменных:

$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$

Теперь упростим знаменатель, раскрыв скобки, используя формулу квадрата разности:

$(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 = (a^2 - 2ab + b^2) + (b^2 - 2bc + c^2) + (c^2 - 2ca + a^2)$

Сгруппируем подобные слагаемые:

$= 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ca = 2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$

Теперь подставим упрощенные выражения обратно в дробь:

$ \frac{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)}{2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)} $

Сократим общий множитель $(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$, при условии, что он не равен нулю (то есть, переменные $a, b, c$ не равны все между собой).

В результате получаем:

$ \frac{a+b+c}{2} $

Ответ: $ \frac{a+b+c}{2} $

б) Рассмотрим выражение $ \frac{bc - a^2 + ac - b^2 + ab - c^2}{a(bc-a^2) + b(ac-b^2) + c(ab-c^2)} $.

Сначала преобразуем числитель, сгруппировав слагаемые:

$bc - a^2 + ac - b^2 + ab - c^2 = (ab+bc+ac) - (a^2+b^2+c^2) = -(a^2+b^2+c^2 - ab-bc-ca)$

Теперь преобразуем знаменатель, раскрыв скобки:

$a(bc-a^2) + b(ac-b^2) + c(ab-c^2) = abc - a^3 + abc - b^3 + abc - c^3$

Сгруппируем подобные слагаемые:

$= 3abc - a^3 - b^3 - c^3 = -(a^3+b^3+c^3-3abc)$

Подставим преобразованные числитель и знаменатель в исходную дробь:

$ \frac{-(a^2+b^2+c^2 - ab-bc-ca)}{-(a^3+b^3+c^3-3abc)} = \frac{a^2+b^2+c^2 - ab-bc-ca}{a^3+b^3+c^3-3abc} $

Используем тождество для знаменателя, которое мы применяли в пункте а):

$a^3+b^3+c^3-3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$

Подставим это разложение в наше выражение:

$ \frac{a^2+b^2+c^2 - ab-bc-ca}{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2 - ab-bc-ca)} $

Сократим общий множитель $(a^2+b^2+c^2 - ab-bc-ca)$, предполагая, что он не равен нулю.

В итоге получаем:

$ \frac{1}{a+b+c} $

Ответ: $ \frac{1}{a+b+c} $